高等代数课程教学探究

耿俊

【摘要】本文通过研究内积向量空间中任意两个线性子空间的投影与反射乘积的可交换性，激发学生的学习兴趣，培养学生的知识创新能力.

【关键词】高等代数;实例探究;创新能力

高等代数是高等院校数学与应用数学、信息与计算科学以及统计学等专业开设的一门核心基础课程，该课程对培养学生的抽象思维、逻辑推理、空间直观、运算能力具有重要作用，鉴于其高度的抽象性和逻辑的严谨性，学生很难真正领会到代数的思想方法，更不容易激发学生探究新知的兴趣.因此，在教学过程中，如何培养学生的知识创新能力，是值得我们探索的问题.本文通过探讨投影与反射乘积的交换性，使学生意识到创新思维和创新能力的重要性.

设l1和l2是R2中两条直线，P是R2上的任意一点.考虑P点先以l1为轴反射，然后反射点再以l2为轴反射的变换rl2l1与P点先以l2为轴反射，然后反射点再以l1为轴反射的变换rl1l2.试问：满足什么条件，反射rl2l1和rl1l2的效果相同？显然，当且仅当l1⊥l2或l1=l2时，这两种反射的效果相同.同样，可以研究R3中任意一点对R3的直线、平面或一条直线与一个平面混合情况反射的顺序.

下面，我們将上述问题的探讨推广到一般内积向量空间中的任意两个线性子空间上.

一、子空间上的投影

设U是一个内积向量空间，V是U的线性子空间.对u∈U，u可以唯一分解成u=pV（u）+u′，其中pV（u）∈V是u到V上的投影，u′⊥V，即U=VV⊥.同时，投影变换pV满足下列基本性质[1，2]：

通过上述实例分析可知，在高等代数课程的教学中，教师要准确把握教学内容，深刻理解知识的来龙去脉，揭示课程的本质的有机联系，这样既可以让学生巩固基础知识，又能够提高学生分析问题的能力，进而调动学习积极性，培养学生的知识创新能力.

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