微积分教学中的语言表达艺术研究

续云丰 巩永丽

【摘要】为了让高职院校的学生更好地学习大学数学，提升课堂教学效果，本文从课堂教学语言表达的角度出发，结合多年教学实践认知，提出了微积分教学的语言表述应该“形象化”“生活化”和“诗情画意化”的观点.同时，为了便于学生理解和记忆，进一步提出了“用一个词、一个短语、一句话来概括一个知识点、一个小节、一个章节及一本书的内容”的观点，同时要不失时机推进课堂思政，不遗余力地对学生进行思想道德教育，教书又育人.

【关键词】大学数学;微积分教学;语言表达;课程思政

【基金项目】浙江建设职业技术学院2018年度教学改革项目.

教育部统计数据显示我国2017全年普通本专科招生761.5万人，其中高职专科350.7万人，这部分高职专科新生，根据专业不同一般需要学习一个学期的微积分.针对这部分学生基础较差，数学学习兴趣低的特征，开展微积分的有效教学是一个迫在眉睫的问题[1][3].

一、高职专科院校微积分教学面临的现状

目前高职专科学校学生的数学基础较差，学习兴趣不大，概括起来就是“两不一没”，即学生“听不懂、学不会、没兴趣”.因此，这部分学校的微积分教学面临很大难度.

数学作为极其抽象的学科，学习曲线陡峭，难度大.研究教学语言中的表达技巧，通过具体、形象、生动传神的语言文字，来传递微积分的知识、思想和技巧，来达到更好的传授知识、教书育人的目的.本文通过具体的教学案例，从以下几方面予以论述，同时案例中蕴含了课程思政的思想[2].

二、微积分教学中使用形象化的比喻

语言作为表情达意的载体，承载着传递知识、点燃兴趣的作用.

在微积分教学中，复合函数求导是一个难点问题.其计算规则可以简单写成（f（φ（x））′φ（x）=u（f（u））′u′=（f（φ（x））′φ′（x）.针对这个问题，可以把这条规则比喻成剥开一个洋葱：首先找到洋葱的最外层（对应复合函数的最外层），然后剥掉最外层（即外层求导），最后乘小洋葱（也就是除最外层剩下的部分）的导数;针对小洋葱，重复上述步骤找最外层和小洋葱，直到最后一层用公式求导.如此比喻，学生就会明白，复合函数求导的关键步骤是找到最外层，然后一层层求导，就是一层层剥洋葱.这样一来知识点就容易掌握了.

讲到不定积分，换元法的一类换元和二类换元，一类换元就是找一个函数进入微分，这是一个小积分，然后设函数为变量再来一个大积分，问题解决.这恰似抗战中的正面战场采用阵地战，就是大敌当前，不跑也不逃，迎面而上，哪怕牺牲也要积分（打击敌人）.二类换元是为了对付根号而生，采取变量当函数容易问题复杂化，在变化中寻找机会进行突破.恰似我党领导的抗日敌后战场，多采用游击战，大敌当前不一定打，而是在迂回后退中（相当于二类换元的变量处理成函数）找准机会狠狠打.如此比喻，学生对两类换元的思路和具体做法自然了然于胸、熟记于心了.

再比如，求极值的两个充分条件，第一充分和第二充分其区别何在？哪个功能更加强大，答案是第一充分条件，排序第一，是个功能强大的越野车，平路和坑坑洼洼的山路（在函数不可导没有驻点时）都可以过去;第二充分相当于普通车，平路可以通过但坑洼路就不能使用了.同时以函数y=|x|的极值求法说明第一充分可用，第二充分不能使用.

三、微积分教学中使用生活化的语言

微积分教学中的无穷小比较分三种情况：高阶无穷小、同阶无穷小和等价无穷小.首先，解释“高”字内涵，比如，高级、高大、高明，本质就是两个东西进行一番比试，冠军就是那个称为高的东西.于是学生秒懂，高阶无穷小，首先需要两个无穷小，它们进行一场比赛，目标是0，其中胜出的冠军就是高阶无穷小.比如，Δx→0，Δx2是Δx的高阶无穷小，记为Δx2=o（Δx）.

而这恰似不同交通工具的竞赛.比如，毛驴和汽车比赛，毛驴输了，于是汽车是毛驴的高阶无穷小.如果两个汽车比赛，可能性能不同品牌各异，但它们是同一个数量级的东西，比赛的结果是一个常数，恰似同阶无穷小，意思是同一个级别的东西.同理，等价无穷小就是两个交通工具开的一样快慢，可以互相替代.最后引出三种无穷小比较的定义.这样的生活化的比喻，学生都可以听明白，车大家都坐过，是个熟悉的物件.因此，从学生的生活实际出发，用他们听得懂的生活化语言表达数学知识，往往可以取得意想不到的好结果.

四、微积分教学中的诗情画意

数学不仅是工具，还是艺术，数学本身和美息息相关.而追求美是人类最根本的追求之一.通过精心整理和引入，将中国古典的诗词歌赋应用到微积分教学的适当场合，往往一鸣惊人，令人拍案叫绝.

比如，讲到导数和微分的关系，它们二者本质相同，表达的侧重点不同而已，一个偏重变化率，另外一个偏重变化量.这好比就是液态的水和固态的冰块，化学成分一样，物理状态不同.此时，可以引用苏轼的诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”来予以说明.

在讲到定积分的定义时，是先计算一个小矩形的面积，然后将无穷个小矩形累加在一起.一个小矩形微不足道，面积近似为零，但千千万万个至无穷个小矩形累加起来就非常可观了，体现了哲学的“量变引起质变”思想.此时可以适时引用韩愈的诗“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，其中第二句“草色遥看近却无”来描述这种一个矩形和无穷个矩形的关系最为恰当：一个小矩形就像一棵小草，看不到忽略了;但千千万万个小草，每个贡献一点绿色，远看就是一片绿色了.还可以借题发挥，以西方围堵中国采用的策略说明定积分的思想，就是五美分党做的事情，网络上肆意用一些似是而非、偷梁换柱、模棱两可的所谓的内部消息、揭秘等等吸引眼球的字眼，抹黑我们的英雄人物，抹黑我们的历史等.单看这一个帖子，似乎问题也不大，就像一个小矩形面积近似为零（对应微分）;但他们天天造谣抹黑，一个接一個、昼夜不息，累计起来所产生的破坏效果就很可观了（对应积分）.这充分说明西方黔驴技穷，不能正面对抗，就用下三烂的套路，但是也不能掉以轻心，因为假话说多了虽然未必变成真话，但可能会蒙蔽一些人，让人思想动摇.因此，年轻的大学生要学会识别这些伎俩，学好本领，站稳立场，更好地为国家进步而奋斗.

又如，讲到一类换元和二类换元，一个是直接方式，一个是迂回方式，前面说过这相当于阵地战和游击战的区别.此时可以吟诗一首，杜甫的“剑外忽传收蓟北，初闻涕泪满衣裳.却看妻子愁何在，漫卷诗书喜欲狂.白日放歌须纵酒，青春做伴好还乡.即从巴峡穿巫峡，便下襄阳向洛阳”.直抒胸臆，体现了一种狂喜之情，即直接又直白！而二类换元就对应马致远的《天净沙·秋思》：“枯藤老树昏鸦，小桥流水人家，古道西风瘦马.夕阳西下，断肠人在天涯.”体现了诗人的苦闷不开心，是通过写景物迂回表达这个意思的.最后，为了让学生记住二类换元是为了对处理根号类积分，改了一句诗“但使二类换元在，不教‘根号度阴山”，来体现二类换元的这个特性.

五、一词一短语一句话概括

数学美的特征在于对称美、在于简洁.正所谓大道至简，用最精练的语言，用“一个词语，一句话”来描述一个知识点、一个定理、一个章节乃至一本书，是一个优秀的微积分教师的一项核心竞争力.

比如，导数=微商=瞬时变化率=增量比之极限，这是导数的定义.函数的有界性用“有界无界看值域，无穷出现为无界”来概括.“一阶导数单调性極值，二阶导数凹凸性拐点”来概括函数单调性极值和凹凸性拐点的内容.

“极值点x0=该点x0左右f′（x）变号=去哪找？f′（x）=0或f′（x）不存在的地方”和“拐点x0=该点x0左右f″（x）变号=哪找？f″（x）=0或f′（x）不存在的地方”，这两条规则比较记忆效果颇佳.

在分部积分中，采用口诀“反对不要碰，三指动一动”来总结，学生易懂易记.

再如，“一切积分问题都是找原函数;一切微积分问题都是求导问题”“微分不过是减法，积分不过是加法，微积分相当于加减法”等形象描述了微积分课程的特征.

二阶线性非齐次微分方程，其特解形式由f（x）的形式确定，分为“指多和指三多”两种情况，指多就是指数乘多项式;根据f（x）写出一个待检验的特征根，遵循“不是（特征根）不升（幂）”的四字原则.如此等等，可以让学生非常容易记住一些重要的知识点和解题技巧.

六、小 结

微积分的教学，需要根据听课对象的基础水平来确定合适的方式，即所谓的因材施教，因地制宜.高职学生大多数学基础差，学习习惯差，畏数学如虎.因此，本文提出一种在教学语言表达方面可以采取的有效措施，用来化解教学中的这种学生听不懂的矛盾[4][5].用“形象化”的教学语言利于学生理解知识;“生活化”的教学语言拉近与学生的距离，产生共鸣;“诗情画意化”的教学语言，将抽象的数学知识美化、诗化，陶冶情操，让学生在学习中得到美的享受、艺术的熏陶.

当然，数学作为训练抽象思维的学科，如果太具体、太形象化，也不利于学生提升综合素质.这个问题是教学中“学院派”和“实战派”的根本分歧点.但考虑到高职学生的学情，本文认为采用上述教学方法是合适的，也是必要的.浙江建设职业技术学院的教学实践表明，95%以上的学生喜爱这种教学表达方式，因为好记忆、易理解、易掌握，并且学生的期末考试通过率也相应提高，教学效果明显优于传统讲授法.

【参考文献】

[1]关章才.高职微积分教学的改进及优化路径探索[J].数学学习与研究，2018（5）：28.

[2]李中，肖劲森.在微积分教学中渗透思想政治教育的策略探索[J].产业与科技论坛，201（1）：137-138.

[3]蔡敏.微积分教学专业化探索[J].课程教育研究，2017（51）：38.

[4]杨晶.微积分教学中的数学思想方法的探究[J].高教学刊，2016（17）：49.

[5]钟敏玲.大学数学微积分教学的改革策略研究[J].数学学习与研究，2017（23）：3-4.