谈初中数学建模能力的培养

山东省莱芜市雪野镇中心中学 张光发

在初中数学课程标准中，学生数学建模能力主要是针对生活中的实际问题，基于现有数学知识，通过建立数学模型，对模型进行分析、求解，最终实现解决实际问题为根本出发点.通过数学建模，可以培养学生数学思维和思考问题的能力，以及寻找思考问题的角度.也可以培养学生的创新意识和创造能力，训练快速获取信息和资料的能力，以及了解和掌握新知识的技能.

在初中数学中，常用模型主要有：函数模型、方程模型、不等式模型、三角模型、概率模型等.本文以一元二次函数模型在实际问题中的应用为例，就相关建模能力的培养提出几点建议，供参考.

一、能否树立数学建模的意识？

树立建模意识是建模能力培养的前提，通常情况下，在实际问题中如果具有可量化的指标，基本都可以抽象成各数学变量，并在此基础上运用相关的数学知识和方法进行分析，找出它们之间的对应关系，进而建立对应的数学模型，再利用模型对问题进行分析求解，并将所求结果与实际对照检验，若符合实际则得出相应的结论；若与实际不符，则需重新进行分析、抽象，选择数学模型.将实际问题数学化的过程如图1所示：

图1

函数建模是在实际问题中通过对数据的分析，抽象出变量，找出各变量之间的关系，从而将实际问题数学化的过程.

通过数学抽象、建立数学模型，对模型进行分析求解，把生活中的各种实际问题转化为函数问题来解决.

二、是否掌握数学建模的方法？

如何更好地对实际问题进行分析，并求出相应的结论？这与选择的数学模型息息相关，其中选择数学模型是数学能力的反映.数学模型的建立有多种方法，怎样选择一个最佳的模型，体现了学生对所学知识灵活应用能力的强弱.

函数指在一个变化过程中有两个变量x和y，如果在某一范围内对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，其中x为自变量.在初中数学中所涉及的函数模型主要有以下几种：

（1）正比例函数：如速度与路程、单位数量与总量；

（2）反比例函数：如价格与销售量、速度与时间的关系；

（3）一次函数：如在票价一定的情况下，乘客数量与成本、收入之间的关系；

（4）二次函数：优化问题、用料最省问题、造价最低、利润最大等.

三、能否基于实际需求建立数学模型？

案例：汽车超速行驶是造成交通事故的重要原因之一，那么在事故的现场如何检测一辆汽车是否超速呢？相关技术部门通常采用测量“刹车距离”来判断是否超速.“刹车距离”指一辆行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离就称为“刹车距离”.如何测定某种型号汽车的刹车性能？

1.选择研究对象

汽车型号：选择某品牌某一型号的汽车为研究对象，并确定相应的轮胎规格.

测量地址：直线型柏油路；

自变量（车速）的值：为便于计算，选择车速分别为5、10、15、20、25、30（千米/时）；

刹车位置：选择某一位置为刹车起点.

2.数据的收集

实际测量在不同车速下的刹车距离，如表1所示：

表1

3.数据的整理

在如图2所示的直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图像（根据需要补充车速为0时，刹车距离为0）.

图2

4.建立的模型

借助图像信息建立函数模型，即观察图像，从中获取信息，将其转化为具体的函数，进而利用函数的性质解决问题.

通过观察图像可知，该图像的形状与抛物线接近，猜想该函数为一元二次函数.因为图像经过原点，故可设此二次函数的表达式为y=ax2+bx（x≥0）.

5.模型的求解

利用待定系数法确定抽象出来的函数关系：

选取（20，1）和（10，0.3）代入表达式y=ax2+bx（x≥0）中，得到二元一次方程组：利用消元法解得

6.模型检验

代入各点检验，只有（25，1.6）略有误差，其他点均满足所求表达式.

7.误差分析

由于所选择的柏油路的光滑程度、轮胎的不同型号及人为操作等原因，不可避免会出现一些误差，因此在具体应用中，可以利用统计学知识，将应用模型所得数据以分组的形式表示，规定一个合理的组距.

8.模型的应用

问题1：若车速是90千米/时，估计刹车距离可能为多少.

解答：将x=90千米/时代入得y=17.1.

问题2：一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶.

解答1：将y=40代入y==40，解得x≈140千米/时.因为140＞100，所以汽车已经超速.

解答2：将x=100千米/时代入（x≥0），得y=21＜40，所以该汽车已超速行驶.

四、是否具有建模的能力？

数学建模的过程是将我们所学知识用在日常生活的过程，培养建模能力是培养我们运用所学数学知识分析问题与解决问题能力的关键，为培养学生的建模能力，我们要更好地完善如下数学建模能力：

1.理解实际问题的能力

数学知识与生活中的众多问题息息相关，通过对这些问题的理解、分析、探究，挖掘出其数学本质，从而建立数学模型，再利用数学知识解决这些实际问题.除本文所述的模型外，生活中的抽签、抽奖、投资、理财，小区的绿化、楼房的采光、车辆的存放等，甚至生活中节水、节电问题等，均可找到相应的数学模型.只要学生认真观察，生活中的数学无处不在.

2.洞察能力

即抓住实际问题中要点的能力.如本文案例中与刹车距离相关的要点除了车速，还有柏油路的路面光滑程度、轮胎的型号等.

3.抽象分析问题的能力

如本文中的案例，根据速度与刹车距离之间的关系，抽象出二次函数模型.

4.“翻译”能力

即把经过抽象、简化的实际问题用数学语言、数学符号表达出来，形成数学模型的能力，以及应用数学方法进行推演或计算得到结论，并能用自然语言表达出来的能力.

5.通过实际对模型进行检验的能力

即所建立的数学模型要与生活实际相符，要经得起实践的检验.

6.所学数学知识的运用能力

如本文例案中构造了二次函数模型，应用这些模型解决问题的前提是我们要熟悉二次函数图像及相关性质，这样才能更好地将其应用于实际问题的解决中.

只有各方面能力加强了，才能更好、更快地解决生活中的实际问题.

总之，生活与数学是密不可分的，数学来源于生活，通过建立数学建模，解决生活中的实际问题，享受数学带给人们的乐趣，从而让我们感受到生活中处处有数学.