重组学材精选情境，重视定义贯穿学程——以锐角三角函数单元教学为例

江苏省宜兴市洋溪中学 许 琳

三角函数是重要的数学分支，在初中阶段只安排学习了很少的一部分，或者说只是开头，即学习了锐角三角函数的相关内容.不少教材接续在相似三角形之后学习，也是从相似三角形引出直角三角形的边角关系，从而定义了正切函数、正弦函数与余弦函数，而且安排了多个课时才完成了这些新知的教学.从单元教学的操作角度出发，我们也可以让学生“先见森林，再见树木”，即先整体呈现新知结构，然后各个深入，系统学习.本文就是基于单元教学而展开的锐角三角函数教学实践，我们先整理该课教学流程，并给出教学立意的阐释，供研讨.

一、锐角三角函数单元教学课例

教学环节（一）创设情境，引出新知

问题1：在平面直角坐标系中画直线y=x，探讨直角三角形中边与角之间的关系.

教学组织：在直线y=x（第一象限的部分）上取一个点A（1，1），观察点A横、纵坐标的比值；继续取一个点B，给定点B的横坐标为一个任意数值，计算出点B的纵坐标，分析此时点B的横、纵坐标之比.进一步推广到直线y=x（第一象限的部分）上任意一点P，点P的横、纵坐标之比都是确定值1.

问题2：在平面直角坐标系中画直线y=2x，用类似的方法求该直线在第一象限上点的横、纵坐标之比.

教学组织：学生研究后发现该直线在第一象限上点的横、纵坐标之比值是确定值，而且可进一步研究该直线上任意一点的横坐标与该点到原点的距离之比值也是确定的，为进一步引出正弦、余弦的定义做准备.

问题3：如图1，在平面直角坐标系中，过原点O在第一象限内引一条射线OM，该射线与x轴的夹角为α，研究该射线上任意一点的横、纵坐标的比值是否变化.

图1

教学组织：在射线OM上取点P、P′，作PN、PN′垂直于x轴，垂足分别为点N、N′，结合相似三角形的性质，可确定点P横、纵坐标的比值是确定的.进一步，分析PN∶OP的值也是确定的，从而引出关于锐角α与上述比值之间的对应关系.

图2

讲授定义：如图2，在直角三角形ABC中，叫作∠A的正弦，叫作∠A的余弦，叫作∠A的正切.我们把∠A的正弦、余弦、正切统称∠A的三角函数.

教学环节（二）理解新知，初步运用

例题：（1）如图3，直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求∠A的正弦函数值、余弦函数值、正切函数值.

图3

图4

（2）如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，c=13，分别写出∠A和∠B的正弦函数值、余弦函数值、正切函数值.

教学组织：通过两个特殊直角三角形，让学生理解新知、运用新知解决问题.同时让学生体会一般角度（相对于特殊角度如30°、45°而言）所对应的三角函数值.练习之间，追问学生互余的两个锐角的三角函数值有什么关系，从而发现以下性质：

Rt△ABC中，∠C=90°，则sin∠A=cos∠B，cos∠A=sin∠B.并安排学生进行证明.因为在Rt△ABC中，∠C=90°，所以，所以sin∠A=cos∠B.可见，证明的过程就是紧扣正弦、余弦的定义去推理，也是加强定义理解、重视定义教学的有效方法.

教学环节（三）运用新知，列表梳理特殊锐角的三角函数值

根据直角三角形的边和角的性质及三角函数的定义，安排学生自主探究列表梳理30°、45°、60°的三角函数值（安排算得较快的学生上台，板演在黑板上的表1 中）.

表1

教学组织：列表之后，组织学生交流如何求这些特殊角的三角函数值，重视回到定义去解题的思路.在此基础上，引导学生观察表格发现一些规律或性质，如猜想：sinα=cos（90°-α），cosα=sin（90°-α），sin2α+cos2α=1，让学生从特殊走向一般进行证明，证明的过程也体现了“回到定义”的教学追求.

教学环节（四）课堂小结，布置作业

引导学生回顾本课所学内容，建构知识结构，让学生理解新知从何而来，将来去向何处，让学生知道锐角三角函数的学习才开个头，后续还有很多要学习的内容，如锐角三角函数的图像和性质，锐角三角函数的应用（如参与解直角三角形）等.布置作业略.

二、教学立意的进一步阐释

1.对比研习初、高中教学要求，精心创设情境导入

三角函数是一门重要的数学分支，三角学更是博大精深、联系甚广，初中、高中阶段对三角函数的要求并不一样，初中只是略微开端，只研究锐角三角函数，而且并不涉及函数图像和更多的函数性质，所以很多初中教材多是附着在相似三角形或坡度问题上引入锐角三角函数的概念，与高中阶段借助“单位圆”的引入方式并不相同.而且把正切函数、正弦函数、余弦函数分开介绍给学生，使得知识呈现碎片化，不利于学生整体认识这几个新的概念.基于以上认识，我们从学生熟悉的正比例函数图像出发，把目光聚焦在第一象限，研究这些射线上点的坐标之比，借助八年级函数的概念（两个变量、单值对应）引出锐角三角函数的定义，学生也容易理解.

2.引导“回到定义”获取思路，预设追问重视定义

在锐角三角函数单元教学起始课中，在几个新的函数定义之后，及时跟进了几个练习进行训练，而这些训练题的求解都要通过讲评时的追问暴露学生的思维，让学生“回到定义”讲解思路，既是巩固新知的需要，更是重视定义的教学追求.到了后续推证一些命题或等式时，也需要让学生在回答时反复提到是如何回到定义来思考、来证明的，这也是重视回归定义的教学价值.顺便提及，单元起始课教学，重在概念教学、定义教学，而不是大量习题驱动下的解题教学，这是当前有些新授课教学方式走偏的不当选择，误以为通过大量练习来巩固和理解定义，挤压了新概念、定义生成的教学，是得不偿失的、不可取的.

3.渗透“特殊与一般”研究方法，加强习题变式教学

本课教学的各个不同环节都充分体现了从特殊到一般的研究方法，比如，开课情境创设时，变换不同的正比例函数，从特殊的正比例函数y=x或y=2x，到过原点在第一象限作任意一条射线，并研究这些射线上点的横、纵坐标之比，体现了从特殊到一般、从简单到复杂的研究方法.在例、习题训练时，从重要勾股数组如“3，4，5”“5，12，13”过渡到特殊锐角如30°、45°等的研究，也是从特殊到一般的思路.在特殊锐角三角函数值的表格整理之后，安排学生分析表格中函数的一些性质，并走向一般进行证明，也体现了特殊与一般的研究路径.

三、在写后面

最近一段时间，由于各级教研赛课提出了单元教学的要求，使得单元教学得到了较高的关注，这种课型需要整合教材，重组教材，对教师备课及课堂驾驭提出较高的要求，真正体现了教师的专业地位，对教师创造性思维也提出较高要求.上面通过一节锐角三角函数的课例展示我们对单元教学的实践和理解，不一定准确，期待更多单元教学的课例展示，丰富我们的理解和认识.