一元二次方程的多种应用探析

江苏省连云港市海州实验中学 丁 波

数学新课程标准指出，为适应人才培养的需要，数学课程应注重发展学生的应用与创新意识.方程的应用体现了方程模型用于解决实际问题的过程，激发了学生的应用与创新意识，加强了数学与现实生活的联系.本文以用一元二次方程解应用题为例，做一探讨.列一元二次方程解应用题的一般步骤包括：（1）审清题意，明确已知量、未知量及问题中的数量关系；（2）设未知数，包括直接设未知数与间接设未知数；（3）列方程，根据能反映应用题全部含义的等量关系，用代数式表示等量关系中的量，然后列出方程；（4）解方程；（5）检验并作答.在现实生活中，一元二次方程有诸多应用，主要表现在以下几个方面：

一、一元二次方程在增长率问题中的应用

解决有关平均增长率（或降低率）问题时，一般选择公式a（1+x）2=b［或a（1-x）2=b］，其中a是增长（或降低）前的量，x是平均增长率（或降低率），2是增长（或降低）的次数，b是增长（或降低）后的量.

例1为做好响应国家“精准扶贫”号召，连云港2017年拟投入1280万元资金用于异地安置，且投入资金按照规划逐年递增，2019年在2017年的基础上递增投入资金1600万元.

（1）从2017年至2019年，连云港在异地安置投入的资金年平均增长率为多少？

（2）在2019年具体实施异地安置过程中，连云港规划投入资金大于或等于500万元用于奖励优先搬迁租房的家庭，规划前800户（包含第800户）一户一天奖励10元，800户以后一户一天奖励5元，按照租房400天进行计算，求2019年连云港享受到优先搬迁租房奖励的至少有多少户.

解析：（1）设连云港在异地安置投入的资金年平均增长率为x.

依据题设，得1280（1+x）2=1280+1600，解得x=0.5或x=-2.5（舍去）.

答：从2017年到2019年，连云港在异地安置投入的资金年平均增长率为50%.

（2）设2019年连云港享受到优先搬迁租房奖励的有a户.

依据题设，得800×10×400+（a-800）×5×400≥5000000，解得a≥1700.

答：2019年连云港享受到优先搬迁租房奖励的至少有1700户.

评注：本题增长后的量不是1600万元，而是（1280+1600）万元；一元二次方程的解通常有两个，这两个不一定都符合题意，要舍去不符合题意的解，这就是方程的解与实际问题的解之间的差异.

二、一元二次方程在“每每问题”中的应用

“每每问题”指“每降低多少单价，就增加多少销量”或者“每增加多少单价，就减少多少销量”.其解题的关键在于找到单价变化量与销量变化量之间的变化规律，然后根据“总利润=每单位利润×销售量”列一元二次方程.

例22019年6月18日是重庆直辖22年的纪念日.22年来，巴渝大地发生了翻天覆地的变化，一大波网红景点成为城市新地标的同时，也见证着城市面貌的改变，并让一大批重庆特产走出重庆，享誉世界.在网红景点洪崖洞，某重庆特产专卖店销售特产合川桃片，其进价为每千克15元，按每千克30元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销量可增加20千克.

（1）若该专卖店合川桃片3月31日的销量为280千克，则该天每千克的售价为多少元？

（2）若该专卖店想4月1日的获利比（1）中3月31日的获利多320元，则每千克合川桃片应为多少元？

解析：（1）设该天每千克的售价为x元.

根据题意，得100+20（30-x）=280，解得x=21.

答：该天每千克的售价为21元.

（2）设每千克合川桃片应为y元.

根据题意，得（y-15）［100+20（30-y）］=（21-15）×280+320，解得y=25.

答：每千克合川桃片应为25元.

评注：对于“每每问题”，在列方程时，要根据“总利润=每单位利润×销售量”，还要用到以下数量关系：每单位利润=售价-进价，销售量=原销售量+增加的销售量.

三、一元二次方程在图形面积问题中的应用

一元二次方程在图形面积问题中的应用，包括修路问题、做镜框问题、做纸盒问题、鸡舍问题等，通常都要利用矩形面积计算公式“长×宽=矩形面积”建立一元二次方程，在确定长或宽时，要根据题意在原来的基础上或加或减，形成一个代数式.

例3某书店积极响应政府“改革创新，奋发有为”的号召，举办“读书节“系列活动.活动中故事类图书的标价是典籍类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买故事类图书的数量恰好比单独购买典籍类图书的数量少10本.

图1

图2

（1）求活动中典籍类图书的标价.

（2）该店经理为鼓励广大读者购书，免费为购买故事类的读者赠送图1所示的精致矩形包书纸.在图1所示的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度.已知该包书纸的面积为875cm2（含阴影部分），且正好可以包好图2中的《中国故事》这本书，该书的长为21cm，宽为15cm，厚为1cm，求出该包书纸包这本书时折叠进去的宽度.

解析：（1）设典籍类图书的标价为x元.

答：典籍类图书的标价为18元.

（2）设折叠进去的宽度为ycm.

由题意得（2y+15×2+1）（2y+21）=875，化简得y2+26y-56=0，则y=2或y=-28（不合题意，舍去）.

答：折叠进去的宽度为2cm.

评注：本题中矩形的长是三部分的和，矩形的宽是两部分的和，这都需要根据题意认真分析，所以审清题意是正确解答问题的前提条件，审题时我们需要抽出其中的数量关系，用数学符号加以表示，而舍去其他无关的内容.

四、一元二次方程在动态几何问题中的应用

一元二次方程在动态几何问题中的应用，是由动点引起的图形面积变化问题，这里起主要作用的变化量一般为运动时间，然后用含运动时间的代数式去描述变化过程中其他的量，如线段的长等，方程一般根据图形面积去建立.

例4如图3，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点立即停止运动）.

图3

（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？

（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由.

解析：（1）点P从开始到运动停止用的时间为：（12+6）÷2=9（s），点Q从开始到运动停止用的时间为：（6+12）÷1=18（s）.由9＜18，只要有一点到达终点，则另一点立即停止运动，得点P先到终点，此时点Q离终点的距离是：（6+12）-1×9=9（cm）.

答：点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm.

（2）在运动过程中，△APQ的面积能等于22cm2，分两种情况讨论.

点P从点B运动到点C的过程中，设点P运动的时间为as.由△APQ 的面积等于22cm2，得，此方程无解.

点P从点C到点D的过程中，设点P运动的时间为（b+6）s.由△APQ的面积等于22cm2，得，解得b1=1，b2=14（舍去），即需运动6+1=7（s），△APQ的面积才能等于22cm2.

评注：本题中的动点因为在不同的线段上运动，所以形成的图形也在变化，因此本题分两种情况进行讨论；在求图形面积时，遇到不规则图形时，要将其转化为规则图形面积的和或差来解决.

五、一元二次方程在握手、比赛问题中的应用

握手问题与比赛问题道理是一样的，在单循环比赛中有公式在双循环比赛中有公式x（x-1）=n，其中x是参赛的队数，n是比赛的场数.解答时先要判断是单循环还是双循环，再套用公式.

例5为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，倡导“我运动、我健康、我快乐”的生活方式，某县团委准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每2个队之间都要比赛1场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少个足球队参赛？

解析：该县团委应邀请x个足球队参赛.

每支球队都需要与其他球队赛（x-1）场，但2队之间只有1场比赛，根据题意，得，整理得x2-x-90=0.

解得x1=-9（不合题意，舍去），x2=10.

答：该县团委应邀请10个足球队参赛.

评注：参赛的每2个队之间都要比赛1场，所以此题是单循环比赛，所以套用公式，如果每2个队之间要比赛2场，那么就是双循环比赛.

当然，一元二次方程的应用远不止这些，还有诸如数字问题、其他学科问题等，因为它是一类最基本类型的方程，所以它在解决生产和生活问题、数学自身问题、其他学科问题中都有广泛的应用.它是反映现实生活数量关系的有效模型，只有在刷题—思考—刷题—思考的反复进行中，才能不断提升应用一元二次方程解决实际问题的能力.