变与不变，不离其源*——“圆（第2课时）”教学案例

江苏省南京市第二十九中学初中部 崔宁宁

改革一直在路上，形式一直在变化，但不变的是——数学学习从来不是“被告知式”的，数学教学从来没有固定的模式，因为数学的主旨在于思维和方法.

当然，数学课堂自然是思维与方法的课堂，这个本质不会因为课程内容的不同而改变，亦不会因为课程类型的不同而改变，就算是一节概念课，也绝不仅仅是简单的“告知概念”，其中一定蕴含着“本”和“源”，一定含有内在的思维和方法.

下面以苏科版教材数学九年级上册“第2章‘对称图形——圆’”中“2.1圆（第2课时）”为例，感受“为思维与方法而教”的真正含义.

一、教材分析与学情分析

1.教材分析

圆是平面几何中的基本图形之一，在几何中有着重要地位.“圆”这一章的教学是初中平面几何中最为复杂和特殊的，其中包含了圆自身众多构成要素和相关要素之间的关系，本节课就是具体研究与圆有关的元素、概念.本节是一节概念课，而且概念较多，这些概念是后面学习圆的有关性质的基础，对这些概念的理解是否透彻、准确直接影响着后续圆的性质的研究与学习，可以说起着承上启下的作用，而弄清它们之间的联系与区别就能更好地帮助理解概念.

对于圆这个曲线型图形，学生经常会将它和直线型图形孤立开，但圆中是存在直线型图形的，所以通过一些问题加强将“曲线型”和“直线型”联系起来看的意识；证明“直径是一个圆中最长的弦”的方法学生很难想到，但是一旦学会这种方法，就会为后续的问题解决提供很大帮助.

2.学情分析

课程标准要求理解弧、弦、圆心角、圆周角的概念；了解等圆、等弧的概念.学生如何不被动直接告知，而是能主动地比较清晰、透彻、准确地理解这些概念呢？整个过程的定位都是在学生已有认知的基础上（①对圆的定义、圆的两要素的理解；②与研究三角形、四边形等图形有着类似的研究方法和经验），学生通过不断操作画图、比较异同、归纳提炼，切身感受并主动、准确理解这些概念，在此过程中感受类比、分类讨论等数学思想，感悟研究问题的方法，促进学生思维的发展，提升“提出问题、发现问题、分析问题、解决问题”的能力.

3.教学目标及重点、难点

基于上述分析，本节课的教学目标及重、难点可确定如下：

（1）教学目标.

①在复习圆的定义这一情境中，经历实际操作、动手画图的过程，借助图形直观理解同圆、等圆、同心圆的概念；

②通过对三角形和四边形研究对象和研究方法的回忆，思考与圆有关的研究对象，感受类比的思想方法，发展学生的数学思维；

③经历研究与圆有关的“线”的内容的过程，经历画图的过程，借助图形直观理解弦、弧的概念，经历画弦的过程，观察特殊弦（直径）的特点，猜想弦和直径的特殊关系，并证明；

④探索、讨论、分析角与圆的位置关系，归纳圆心角和圆周角的概念，感受分类讨论，发展学生的数学思维；

⑤通过例题，初步感受圆与直线型图形的联系，在整个过程中增强提出问题、发现问题的能力.

（2）教学重点、难点

重点：借助图形直观理解与圆有关的概念，并弄清它们之间的联系与区别，初步感受圆与直线型图形的联系.

难点：弄清与圆有关的概念之间的联系与区别，证明“直径是一个圆中最长的弦”，建立主动将直线型图形的有关知识与圆的有关知识结合并加以使用的意识.

二、教学实施与感悟

1.问题引导

具备怎样的条件可以确定一个圆？

设计说明：借助圆的集合定义这个学生已有的知识基础，复习圆的两个基本要素的同时，引发“如果缺少一个要素会如何”的思考.

实施反思：实际教学中，学生对“确定”的意义不太理解，此时引导学生回忆：在学习“两点确定一条直线”时“确定”的意义——“有且只有”，从而理解题意是需要画出的圆有且只有一个.

2.探索活动

问题1：对于圆的两要素，如果缺少一个要素会如何呢？你如何思考？

图1

追问1：如图1，若以已知点O为圆心画圆，可以画多少个圆？这些圆有何特征？

追问2：若以2cm为半径画圆，可以画多少个圆？这些圆有何特征？

请学生画在学习单上.

追问3：同圆或等圆有什么共同特征？

归纳1：同圆或等圆的半径相等.

设计说明：①在明确圆的基本要素之后，让学生进行实际操作、动手画图，进一步感受这样的唯一圆，同时为后续去掉一个条件做准备，并感受简单的“分类”思想——去半径或去圆心，通过自己画图，借助图形直观理解同圆、等圆、同心圆的概念.②同圆或等圆的共同特征是圆的很多性质的大前提，不可忽视.

实施反思：①问题1和追问1均可解决，而对于追问2，学生只能回答半径相等这一特点，对于等圆的“互相重合”这一本质还无法认知，实际教学中，通过“将两个半径相等的圆进行平移会发生什么”来帮助学生理解等圆的本质是“互相重合”，并且为后面介绍等弧做准备.②同圆或等圆的共同特征的语言描述，学生是用两句话概括的，此处的实际教学中，教师引导学生用一句话概括，并提醒大前提不可缺.与圆有关的一些性质的语言描述对学生来说是难点，这需要教师慢慢引导，切不可操之过急！

问题2：对于三角形和四边形，我们主要研究了它们的哪些内容？用了哪些方法？根据你的经验，对于圆，我们可以研究它的哪些内容？

设计说明：①任何事物不会无缘无故存在，都会有它发生、发展的道理.圆的相关元素较多，如果直接告知，一来易混淆，不易理解，二来也不知为何要引入这些元素，即只知其然却不知其所以然.初中数学要慢慢从小学的先动后思往先思后动转变.因此在对三角形、四边形研究对象的认知基础上，对研究内容进行回忆，启发学生对图形研究方法进行思考，提升思维力，真正做到“为思维与方法而教”.只要学生的回答与三角形、四边形研究对象有关，教师都应该给予鼓励，并强调图形的研究对象.②下一个问题中启发学生通过类比对圆的研究对象进行思考和挖掘.对于圆的研究对象，学生的回答同样可以是开放的，无论表达是否准确，教师都应该引导学生往正确的方向思考.

实施反思：①实际教学中，学生的回答多种多样：三角形的边、角，三角形中的线段和角，三角形三边之间的关系、三角之间的关系，四边形的边、角、对角线，特殊三角形和特殊四边形的性质和判定，还有对称性等.当然，教师引导学生对研究对象进行分类整理，从而对于圆的研究对象引导学生往正确的方向思考.②经历前面的共同回忆，借鉴已有研究图形的经验，实际教学中，对于圆的研究对象，学生的回答为：与圆有关的线，与圆有关的角，圆的边，圆的对称性等.

追问1：（问题探究）与圆有关的线是什么？在哪里呢？你能在图2中尽可能多地画出一些与圆有关的“线”吗？你会关注哪些？（让学生尽可能多地画，并说出所画的这些“线”的异同）

图2

图3

定义归纳：（1）连接圆上任意两点的线段叫作弦.经过圆心的弦叫作直径.如图3，弦CD、直径AB.

追问2：（再次探究）如图3，直径与弦有何关系？

设计说明：①问题2仅仅是整体上把握我们的研究对象，追问1、追问2则是具体实施：与圆有关的“线”是怎样的？在哪里？学生还是模糊的，因此，要通过学生动手操作在圆中画一画这些“线”，只要能观察出这些“线”的异同（线段的端点与圆的位置关系，也有可能画的是不同的直线与圆的位置关系），就有了分类标准，将这些“线”先分类，再选择特殊的研究，自然就理解了什么是弦，以及特殊的弦（位置上过圆心）.此处尽可能让学生自己归纳这些定义.②一般研究线段与线段的关系，包括位置和数量，所以此处设计追问2，也是发展思考问题的全面性.③追问1中的“线”，如果学生难以画出“弧”，则再加追问来解决.

实施反思：①实际教学中，大部分学生最先画出的是半径、直径，其次是非直径的弦、切线、与圆相交的直线，也有少部分学生画的是射线，但几乎没有学生画弧，说明学生的思维还是固定在直线型的线，这和他们的认知是有关系的.所画的线杂乱无章，此时教师投影，将学生所画的线进行展示，通过“追问：这些线太多、太乱，你打算如何区分它们呢”，将这些“线”先分类.有的学生按线段、射线、直线来分，有的按线段的端点与圆的位置关系来分，还有的按线与圆的交点个数来分，最后教师引导按第二种分类.②实际教学中，证明直径与弦的数量关系（直径是最长的弦）时，学生很难想到方法，此时再“追问：直径一定是最长的吗？其他的弦一定比直径短吗”，引导学生任取一条非直径的弦，证明此弦小于直径即可.而这种方法，为后续的问题解决提供很大帮助.

追问3：（三次探究）你还能在图2中再画出一些与圆有关的其他类型的“线”吗？

定义归纳：（2）圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示；

追问4：以点C、D为端点的两条弧跟谁比较大些，跟谁比较小些？

（3）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫作半圆.大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧.如图3，以点C、D为端点的弧有两条，其中表示同一条优弧，为劣弧；表示同一个半圆.

（4）能够互相重合的弧叫作等弧.

（5）弦CD将圆分成两条圆弧，这两条弧都称为弦CD所对的弧.

设计说明：①学生比较容易画出弦、直径等一些与圆有关的线，但这都属于直线型图形，对于弧，较难想到，故设计追问3.②对于弧的表示，可以以为例，但此时引导学生发现：以点C、D为端点的弧有两条到底表示哪一条呢？这两条弧有何不同呢？从而说明引出优弧、劣弧的必要性，并说明两种弧的表示方法的不同处.③所有概念尽可能让学生自己归纳.

实施反思：①实际教学中，追问3还是有学生想不到，于是又设置一些台阶，如：圆是曲线，与圆有关的线一定是直的吗？②实际教学中，笔者认为优弧与劣弧的不同是难点.学生很快能说出以C、D为端点的两条弧“一大一小”（此处描述不严谨，只是先让学生有个直觉上的感受），但是所谓大小一定是比较出来的，以目前知识储备两者无法直接比较，于是：“追问：跟谁比较大些，跟谁比较小些？”，从而找到中介——半圆，得到优弧、劣弧概念.这种方法既不突兀，又符合学生的认知水平.

问题3：（问题探究）你能画出一些与圆有关的“角”吗？你会关注哪些？（让学生尽可能多地画，并说出所画的这些“角”的异同，即分类标准，如图4）定义归纳：（1）顶点在圆心的角叫作圆心角.圆心角与圆相交两点间的弧称为该圆心角所对的弧.

图4

（2）顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角.

图5

设计说明：①这个探究活动与问题2类比进行，旨在让学生在圆中画些“角”，只要能观察出这些“角”的异同（角的要素——顶点和边与圆的位置关系），就有了分类标准，将这些“角”先分类，再选择特殊的研究.②此处将圆周角的定义提前给出，主要是分类讨论过程的一个整体性、连贯性的呈现，学生在考虑与圆有关的角时，可以一气呵成考虑，而且这对圆周角和圆心角的定义的形成，也极有好处.③此处尽可能让学生自己归纳这些定义.

实施反思：画与圆有关的“角”和对所画的角进行分类是难点，实际教学中，画全的很少，但也不是不可能，只要能想到借鉴与圆有关的“线”的分类，还是可以想到关注角的顶点与圆的位置关系，进而关注角的另一元素“边”与圆的位置关系进行二级分类.当然，没有想到也没关系，数学思维与方法的教学从来不是一朝一夕达成的，只要慢慢积累就一定可以.

3.尝试解决

典型例题：例1如图6，点A、B和点C、D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，且∠AOB=∠COD.∠C与∠D相等吗？为什么？

图6

例2在图7中，画出⊙O的两条直径，依次连接这两条直径的端点，得到一个四边形.判断这个四边形的形状，并说明理由.

图7

图8

例3如图8，CD是⊙O的直径，点E在⊙O上，A为DC的延长线上一点，连接AE，交⊙O于点B，且AB=OC，试判断∠EOD与∠A之间的数量关系，并说明理由.

设计说明：例1是教材中的例题，例2是教材中的练习加以改编而来的，例3是教材中的“思考与探索”.①这3个例题都是对本节课所学圆的有关知识和基本概念的巩固，如：圆心角、圆周角、弧、弦、同圆或等圆的半径相等.②通过这3个例题，引导学生将直线型图形的有关知识与圆的有关知识结合起来加以运用.③关注圆中的隐含条件（半径相等）和圆中常用辅助线（连接半径）.④让学生知道关于圆的几何基本表达.

4.小结思考

举例说说“圆的家族”中又新增添了哪些新成员.它们有什么联系与区别吗？

举例说说你收获了哪些方法.圆与直线型图形有什么联系？

接下来我们将研究圆的什么内容呢？

设计说明：以问题的形式复习与圆有关的基本概念，总结分类讨论、类比的思想方法，并将曲线型的圆与直线型图形结合，将知识整合，形成新的知识结构.让学生自己提出如何研究圆，延续着开头对研究对象思考的整体性，为后续研究做铺垫，同时增强发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.

三、教学感悟

对于有很多概念的概念课，绝不仅仅是简单的“告知概念”，直接灌输不仅容易记不住，而且容易混淆，一定含有内在的思维和方法，当自己亲身经历概念形成的过程后，很多事物就自然生成了，不是被动灌输，而是主动探究.同时在此过程中，很自然感受到分类和类比的必要性，不是为了要有数学思想方法而硬加进去的.

整节课学生都是在用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界.在几何学习中感悟研究方法，感悟研究图形的途径，学生对所研究的内容有了整体把握，不仅有利于学生主动探究，而且对后续研究有帮助，正所谓“站得高方能看得远”！

“授人以鱼”不如“授人以渔”，这是每一个教育工作者的追求.让思维真正主导课堂，才能彰显数学教学的本色.