奇妙的勾股数

陈寿来

3、4、5是一组有趣的数字：32+42=52。5、12、13也是同样的关系：52+122=132。还有8、15、17，82+152=172。这样一组三个正整数a、b、c，满足a2+b2=c2这个关系，叫作勾股数，也叫“毕氏三元数”。

据考证，远在公元前1800年，古巴比伦人已经发现了若干组勾股数。中国历史上的《周髀算经》（成书于公元前500年左右）记载，远在公元前1100年，西周时代的数学家商高也已经观察到（3，4，5）是一组勾股数的例子。

从形的角度，我们已经知道如果一组勾股数作为一个三角形的三条边，那么这就一定是个“完美”的直角三角形。从数的角度，我们知道一组勾股数（a，b，c）一定满足a2+b2=c2。除了这些，从数的角度看，勾股数还有哪些奇妙的地方呢？

首先，如果（a，b，c）是一组勾股数，把a、b、c都乘上一个正整数，当然（ka，kb，kc）也是一组勾股数。例如（3，4，5）是一组勾股数，（6，8，10）（30，40，50）也是。根据这个结论，我们会发现勾股数肯定有无数组。

让我们排除这种延伸，规定a、b、c中任何两个数字都是互质的，就是在正整数范围内，任何两个数除了1以外没有公因数。那么还有多少组勾股数呢？答案还是无穷的。远在古希腊时期，数学家欧几里得就已经得出了这个结论。在这个前提下，还有哪些有趣而且似乎让人意料不到的结论呢？

1.在a、b、c中，a和b一个是奇数、一个是偶数。

2.在a、b、c中，c一定是奇数。

3.在a、b中，有且只有一个数字能被3整除。

4.在a、b中，有且只有一個数字能被4整除。

5.在a、b、c中，有且只有一个数字能被5整除。

6.在a、b、a+b、a-b中，有且只有一个数字能被7整除。例如在（3，4，5）中，3+4=7，能被7整除;在（8，15，17）中，15-8=7，能被7整除。

7.在a+c、b+c、c-a、c-b中，有且只有一个数字能被8整除，有且只有一个数字能被9整除。例如在（3，4，5）中，3+5=8，能被8整除;4+5=9，能被9整除。

8.c本身也一定是两个正整数平方的和。例如在（3，4，5）中，5=12+22;在（8，15，17）中，17=12+42。

9.在a、b、c中，最多只有一个数字是完全平方数。例如在（3，4，5）中，4是2的平方;在（8，15，17）中，没有一个是完全平方数。

其实勾股数还有很多奇妙的地方，有兴趣的同学可以自己去发现哦！

（作者单位：江苏省太仓市第一中学）