不定方程x2+y2+z2＝2(xy+yz+xz)的解及其性质

2011-04-11常秀芳

山西大同大学学报(自然科学版) 2011年3期

李高，常秀芳

(山西大同大学煤炭工程学院，山西大同037003)

对于方程[1－3]

的任意一组解x=a,y=b,z=c可看成是空间一点的坐标(a,b,c)。而方程的左端总是正的，结合右端可知a,b,c同时为正，或同时为负，二者必居其一。只要把(a,b,c)写成(｜a｜,｜b｜,｜c｜)即同为正，为此，下面只研究正数解的情形。若(a,b,c)是方程的解，由方程的对称性知，则方程一定存在(a,c,b)、(b,a,c)、(b,c,a)、(c,a,b)、(c,b,a)的五组解，这六组解实际是坐标a,b,c的不同排列，只与坐标值有关，而与次序无关，这六组解不妨称为同组解。在同组解中，已知其中的一个，其余五组解便知。规定方程的解指的是同组解中的一个，同组解中其余五组解不作探究。

1 关于方程x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)解的概念

1.1 邻解

若(a,b,c)是方程(1)的解，则a是方程

的一个根，则必存在另一个根a′，且满足

a＋a′＝2(b+c) aa′＝(b-c)2

显然 a′＞0，(a′,b,c)也是方程(1)的解，则把(a′,b,c)称为方程解(a,b,c)的a的邻解，即(a,b,c)与(a′,b,c)互为邻解。

同理，b和c也有各自的邻解(a,b′,c)和(a,b,c′)。

1.2 奇解

由于我们研究的是方程的正整数解，若有一个坐标值为零，不预考虑，应把它排除之外。为此我们规定在方程解(a,b,c)的邻解中，若有一个坐标值为零，则称(a,b,c)为方程的奇解，否则称为非奇解。

在方程解(a,b,c)中，若有两个坐标值相等，不妨b=c，可得一解(4,1,1)，则称(4,1,1)为方程最简单的解。将b=c=1代入(2)式可得关于4的邻解(0,1,1)，显然(4,1,1)是奇解。

1.3 互质解

方程解(a,b,c)的三个坐标中，若两两互质，则称该解为互质解。

2 关于方程x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)解的性质

性质1 若(a,b,c)是方程的解，则(ka,kb,kc)是方程的解[4－5]

性质2若方程的解中，若有两个坐标值相等，则必得奇解，且奇解只有一个邻解。

一般地，非奇解(a,b,c)都有三个邻解(a′,b,c)、(a,b′,c)、(a,b,c′)，其中 a′,b′,c′可按下式求得

a′＝2(b+c)－a,b′＝2(a+c)－b,c′＝2(a+b)－c。

假如b=c，可得(4b,b,b)，由性质1得奇解(4,1,1)，又由

42＋y2＋12＝2(4y+y＋4)

得奇解(4,1,1)一邻解(4,9,1)。该邻解(4,9,1)有除(4,1,1)外，还有(16,9,1)、(4,9,25)的邻解。

若a与b的公因子d＞1，则d也是c的公因子，这与a,b,c的最大公因子为1相矛盾。故a,b,c两两互质。

性质4 互质解的邻解也是互质解。

(a,b,c)是互质解，它的三个邻解(a′,b,c)、(a,b′,c)、(a,b,c′)中，不妨设(a′,b,c)不是互质解，则 a′与b，或a′与c有公因子d＞1，两者必居其一。不妨a′与 b 有公因子 d＞1，有 a′＝nd,b＝md。

由根与系数关系有 aa′＝(b－c)2，即 aa′＝and＝(bc)2＝(md－c)2＝m2d2－2mde＋c2，所以 d｜c2。从而 b 与 c 有公因子 d＞1，这与(a,b,c)是互质相矛盾，故(a′,b,c)是互质解。

性质5 方程互质解中，三个坐标必两奇一偶。

性质6 方程互质解(a,b,c)中，a，b，c均为平方数。

此外，每一中不同的用地类型有着不同的生境适宜性，对受生态威胁的敏感程度也不同，综合众多研究成果[26-27]的基础上，结合研究区域生态环境的具体情况，将土地利用类型分为人工地类、自然地类两大类，分别赋值0（人工）、1（自然），从人工地类到自然地类，敏感性由低到高，其取值范围为0-1，0表示不敏感，1表示高度敏感性。本文对应的地类对各威胁因子的敏感度具体如表2所示。

由方程φa(x)＝x2－2(b＋c)x＋(b－c)2＝0，φb(x)＝x2－2(a＋c)x＋(a－c)2＝0。可得

因为a，b，c是两两互质的正整数，所以a，b，c必然都是平方数。

性质7 方程非奇解(a,b,c)的三个邻解中，只有一个解的最大坐标比原来的小，另两个则具有较大的最大坐标。

不妨设 a＞b＞c，φa(x)＝x2－2(b＋c)x＋(b－c)2＝0 的两个根为a和a′。

因为

(b－a)(b－a′)＝φa(x)＝x2－2(b＋c)b＋(b－c)2＝－c(4b－c)＜0,即 b 介于 a与 a′之间，则 a＞b＞a′，故(a′,b,c)的最大坐标小于(a,b,c)的最大坐标。

同理，由(a－b)(a－b′)＝φb(a)＝a2－2(a＋c)a＋(a－c)2＝－c(4a－c)＜0 可知，a位于 b 与 b′之间，因 a＞b，则 b′＞a，故(a,b′,c)的最大坐标就大于(a,b,c)的最大坐标。(a,b,c′)的情况与之类似。

性质8 方程的任何一互质解都可由奇解(4,1,1)推得，即方程的任何互质解都与奇解(4,1,1)存在联系。

设(a,b,c)是方程的互质解，由性质4和性质7可知，它必有互质的邻解 (a1,b1,c1)，且具有较小的最大坐标。若这个接也是非奇解，则它又能产生互质的邻解(a2,b2,c2)，具有更较小的最大坐标。将这个过程继续下去，在自然数范围能从大到小是不能形成无穷递减的，所以此过程必在某个互质解具有相同坐标时停止，即该解为奇解(4,1,1)。从而从奇解(4,1,1)出发，就能逐步地并且无遗漏地得出方程的全部互质解来，再由性质2得到方程的全部解。

奇解(4,1,1)的非奇互质解是(4,9,1)，而且(4,9,1)是所有非奇互质解中最小的。由非奇互质解(4,9,1)开始，每两个坐标不变，可得方程全部的互质解，如下图1所示。