运用类比法 破解概率题

安徽省无为第三中学城北校区(238300) 朱小扣

上海市嘉定区第一中学(201808) 樊惟媛

《普通高中数学课程标准(2017版)》中指出:“数学学科核心素养包括:数学抽象,逻辑推理,数学建模,直观想象,运算能力,数据分析,这些核心素养既相对独立又相互交融,是一个有机的整体.”其中逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养.主要包括两类:一类推理形式主要有归纳、类比;一类是推理形式主要有演绎推理.而在概率题中,不少同学忽视了类比这种方法,做题经常出错,导致自己的学习不深入,只是浅层学习.为此本文将从三个角度出发,阐述类比法在概率题中的应用,以期给大家带来帮助.

一、分书问题

不少同学对什么时候用排列,什么时候用组合,什么时候要除以重复数,什么时候不用搞不清,为此,笔者觉得可以把例1作为母题,记住例1类比其他题目即可.

例16本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法:

(4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本:

点评可以先考虑分成堆,再让人过来拿.堆是没有区分的.第1问如果堆的数量一样,要除以重复的排列.像第二个问,可以先考虑分成堆,再让人过来拿,人是有区分的,故要乘以.可以将此题作为母题,类比地解决很多类似的诸如分配人员,小球等题目.

例2把5个不同的小球放到4个不同的盒子中,保证每个盒子都不空,不同的放法有种.

解析利用例1的思想,将本题中“小球”类比成例1中的“书”,将本题中“盒子”类比成例1中“人”.先分堆,再分给人.使盒子不空则必按1,1,1,2分:3故答案为240种.

例3(2016衡水中学一模)某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试,每人限报一所高校.若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考,那么这5名同学不同的报考方法种数共有( )

A.144种 B.150种 C.196种 D.256种

解析利用例1的思想,将本题中“人”类比成例1中的“书”,将本题中“高校”类比成例1中“人”.先分堆,再分给人.按如下两种情况讨论:

故一共有60+90=150种方法,选(B).

点评学生不可能每次解决类似题时,每次都清楚地记得是排列还是组合,要不要除以重复的.也会经常出错,只有记住这个母题,“照葫芦画瓢”,才不会出错,才是正道.

二、掷骰子问题

不少人认为概率就是排列和组合,和其他的知识无关,但事实上却是概率与多项式,通项公式,母函数等都有关,知道的越多,做对概率题的可能性就越大.

例4(2014年高考福建卷)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球,而“ab”则表示把红球和篮球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球,5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是( )

A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5

B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5

C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)

D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)

解析不难得到答案是A,通过这一题可以启发概率问题与多项式(或通项公式)有深刻的联系,又如:

例5甲,乙,丙三人玩传球的游戏,每个人都等可能地传给另外两个人(不自传),球先从甲传出,求经过5次传球后,球又回到甲手中的概率?

解析设经过n次传球又回到甲的手中的概率为Pn,若第n传回甲,则第n-1必不回到甲手中,球将等可能的传到乙,丙手中,故:(n≥2),由P1=0递推得到.

例6求掷3颗骰子得12点的概率.

解析记X1,X2分别是第一枚,第二枚骰子的点数.以多项式中的xi的系数表示:P(X1=i);以多项式中的xj的系数表示:P(X2=j).

由广义二项式定理可得:

问题可以进一步推广为求掷n颗骰子得m点的概率,这是用列举法不易做出的.

点评任何一个知识点都不是孤立的,它都有“亲戚”“朋友”,像概率的朋友有数列,多项式等,只有我们了解它周围的朋友,才能更好的认识它,掌握它.

三、二项分布问题

二项分布,即重复n次的贝努利试验,而贝努利试验中的所有的每个实验仅有两种可能的结果,且所有实验取得成功概率都是一样的.对其类比推广,不少同学不熟悉,现分析如下.

3.1 类比的推广:二项分布后的二项分布

例7(厦门市2016届高中毕业生第一次质量检查)已知一种动物患有某种疾病的概率为0.1,需要通过化验血液来确定是否患该种疾病,化验结果呈阳性则患病,呈阴性则没有患病,多只该种动物检测时,可逐个化验,也可将若干只动物的血样混在一起化验,仅当至少有一只动物的血呈阳性时混合血样呈阳性,若混合血样呈阳性,则该组血样需要再逐个化验.

(I)求2只该种动物的混合血样呈阳性的概率;

(II)现有4只该种动物的血样需要化验,有以下三种方案

方案一:逐个化验;

方案二:平均分成两组化验;

方案三:混合在一起化验.

请问:哪一种方案更适合(即化验次数的期望值更小).

解析(I)设ξ为2只该物种动物中血液呈阳性的只数,则ξ～B(2,0.1),2只动物中只要有一只血液呈阳性,它们的混合血样呈阳性,所求的概率为P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-0.1)2=0.19.

(II)方案一:4只动物都得化验,需要4次;

方案二:设所需化验的次数为X,则X所有可能的取值为2,4,6;P(X=2)=0.81×0.81=0.6561;P(X=4)=2×0.81×0.19=0.3078;P(X=6)=0.19×0.19=0.0361;EX=2×0.6561+4×0.3078+6×0.0361=2.76.

方案三:设所需化验的次数为Y,则Y所有可能的取值为1,5;P(Y=1)=0.94=0.6561,P(Y=5)=1-0.94=0.3439.因为2.3756＜2.76＜4,所以4只动物混合在一起化验更合适.

点评从第一个问到第二个问的方案二的解答,体现了二项分布后的二项分布,这种题目经常出现,如在多个并联的情况下求电路通的概率等,此类题应引起重视.

3.2 贝努利事件的整合

例8(2010年江南十校联考)某省示范高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开始,在每周一、周三、周五的课外活动期间开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座)统计数据表明,各学科讨论各天的满座的概率如下表:

信息技术生物化学物理数学周一1 4 1 4 1 4 1 4 1 2周三1 2 1 2 1 2 1 2 2 3周五1 3 1 3 1 3 1 3 2 3

根据上表:

(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率;

(2)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.

解析(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的事件为A,则P(A)=

(2)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ,则ξ可能取值为0,1,2,3,4,5.

所以,随机变量ξ的分布列如下:

点评通过观察发现,周三的信息技术,生物,化学,物理满座的概率均为通过类比可以将它们整合成统一的贝努利事件,从而使得问题顺利求解.

3.3 .五局三胜问题与二项分布的类比

例9甲,乙两选手比赛,假设每局甲获胜的概率为p,乙获胜的概率为1-p.若采用五局三胜制,求甲最终获胜的概率.

分析有部分学生误认为要打满五局,所以这样写:

错解P(甲胜)=P(甲只胜三场)+P(甲只胜四场)+P(甲只胜五场)=(1-p)2+(1-p)+=6p5-15p4+10p3.

正解P(甲胜)=P(打三场甲胜)+P(打四场甲胜)+P(打五场甲胜)=p3+(1-p)p+(1-p)2p=p3+(1-p)p+(1-p)2p=6p5-15p4+10p3.

点评第一种做法是错误,但答案却是完全一样的.类似的,如果将“五局三胜”改为“七局四胜”、“九局五胜”等,可以得到两种方法算得答案也完全一样,考虑顺序这与二项分布的算法完全一样,那么这是巧合还是必然呢?若是必然,那么今后再计算类似题时,如在2n+1场比赛中,甲获胜的概率直接按计算,从而避开了繁琐的讨论与表达.这样的“将错就错”是不是对的呢?望同仁和专家做出解答.

四、总结

美籍匈牙利数学家波利亚(GeorgePolya,1887-1985)曾说过:“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.”确实,类比是科学发展的灵魂,是数学发现的重要工具之一.因为任何一个数学知识点都不是孤立的.通过对上述概率题的解答,可以发现类比是解决概率题的一把利刃,通过类比能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联,从而能更好的认识事物的本质及变化规律.所以你值得去“类比”!