圆锥曲线中一类等角性质的再推广

佛山市南海区黄岐高级中学(528248) 熊向前

广州市广东华侨中学(510000) 杨墁

由文[1]知在椭圆中存在如下性质:

性质1已知椭圆=1(a＞b＞0),P(m,0)(-a＜m＜a且m/=0)是椭圆C内一点,过P点的直线l与C交于A、B两点,点M的坐标为则有∠AMP=∠BMP.

性质2已知椭圆=1(a＞b＞0),P(m,0)(m＞a或m＜-a)是椭圆C外一点,过P点的直线l与C交于A、B两点,点M的坐标为则有∠AMP=180°-∠BMP.

同样在双曲线和抛物线中也有类似的性质.

上述性质反映了过圆锥曲线的对称轴上一定点的动直线和圆锥曲线的两个交点与另一定点形成的等角性质,结论无疑是非常优美的,且在高考题中常有运用,如2018年全国I卷理数第19题、2015年全国I卷理数第20题、2013年陕西卷理数第20题.但仔细观察,笔者发现该定理仅将定点P限制在圆锥曲线的对称轴上,那么当P点不在圆锥曲线的对称轴上时是否仍有类似的性质呢？笔者借助于GeoGebra软件进行了实验探究,发现了如下更为一般情况下的定理:

定理1已知椭圆=1(a＞b＞0),是椭圆C内一点,过P点作直线的垂线,垂足为M,过P点的任一直线l与椭圆C交于A,B两点,则有∠AMP=∠BMP.(如图1所示)

图1

图2

定理2已知椭圆1(a＞b＞0),是椭圆C外一点,过P点作直线=1的垂线,垂足为M,过P点的任一直线l与椭圆C交于A、B两点,则有∠AMP=180°-∠BMP.(如图2所示)

定理1和定理2的证明过程基本一样,下面仅对定理1进行证明,定理2类似可证.

证明过A、B两点分别作直线m的垂线,垂足分别为C、D,设A(x1,y1),B(x2,y2),则

同理可得:

同理有

在Rt△AMC中,

在Rt△BMD中,

综上所述∠AMP=∠BMP.

类比以上性质,在双曲线和抛物线中,我们可以得出如下性质:

定理4已知双曲线=1(a＞0, b＞0),是双曲线C两支内侧一点,过点P点作直线=1的垂线,垂足为M,过P点的直线l与双曲线C交于A、B两点,若A、B位于双曲线的同一支,则有∠AMP=180°-∠BMP;若A、B位于双曲线的不同支,则有∠AMP=∠BMP.

定理5已知抛物线C :y2= 2px,P(x0,y0)()是抛物线C内一点,过点P作直线m:p(x+x0)-yy0=0的垂线,垂足为点M,过P点的直线l与抛物线C交于A、B两点,则有∠AMP=∠BMP.

定理6已知抛物线C :y2= 2px,P(x0,y0)()是抛物线C外一点,过点P作直线m:p(x+x0)-yy0=0的垂线,垂足为M,过P点的直线l与抛物线C交于A、B两点,则有∠AMP=180°-∠BMP.

定理3和定理4的证明过程与定理1的证明类似,此处从略,下面对定理5进行证明,定理6类似可证.

图3

当直线l与x轴垂直时x1=x2=x0,则3○式可化为,同理○4式可化为由抛物线的对称性可知|y1|=|y2|,所以tan∠AMC=tan∠BMD⇒∠AMC=∠BMD,从而得∠AMP=∠BMP.

综上所述∠AMP=∠BMP.

在以上结论中,直线m实际上是P点关于圆锥曲线对应的极线,因而M点本质上是过P点与其对应极线垂直的垂线与极线的交点,因此,本文中的定理1～6可以进一步统一概括为:

定理7已知圆锥曲线Γ,P是一个不在Γ上的定点,P点关于Γ的极线为m,过P点作直线m的垂线,垂足为M,过P点的任一直线l与Γ交于A,B两点,则有∠AMP=∠BMP或∠AMP=180°-∠BMP.