非线性中立型多变时滞积分微分方程解的存在性及渐近稳定性

黄明辉，刘 君

(广州城建职业学院 数学教研室， 广东 广州 510925)

Lyapunov方法是研究微分方程稳定性常用的方法。然而，在研究具有时滞的微分方程零解稳定性时，Lyapunov方法就会遇到很多困难，比如要求时滞有界等。为了克服Lyapunov方法的局限性，Ardjouni[1-5]、Jin[6-7]等学者利用不动点理论研究了时滞微分方程零解的渐近稳定性，并取得了一系列的研究成果[1-13]。文献[1]利用不动点理论，研究了线性中立型多变时滞微分方程

(1)

零解的渐近稳定性。文献[2]利用不动点理论，研究了非线性中立型变时滞积分微分方程

(2)

零解的渐近稳定性。然而，上述结果的条件非常严格，要求c可微且τ二次可微，τ′(t)≠1，t∈[0，+∞)。受此启发，本文考虑以下非线性中立型多变时滞积分微分方程

(3)

零解的渐近稳定性及初始条件x(t)=Ψ(t)∈C([m(t0)，t0]，R)，对任意t0≥0，有

mj(t0)=inf{t-τj(t)，t0≥0}，

m(t0)=min{mj(t0)，1≤j≤N}。

为了给出本文结果，对方程(3)作出以下假设：

(H1)aj∈C(R+×[m(t0)，+∞)，R)，bj∈C(R+，R)，τj∈C(R+，R+)且可微，当t→+∞时，t-τj(t)→+∞，其中j=1，2，…，N。

(H2)Q(t，x1，…，xN)对x1，…，xN是全局Lipschitz连续函数，即存在正数K1，…，KN，使

又g是局部的Lipschitz连续函数，即存在正数L，对l>0，若|x|、|y|

|g(x)-g(y)|≤L|x-y|， |g(0)|=0。

(H3)存在连续函数hj：[m(t0)，+∞)→R，j=1，2，…，N和常数α∈(0，1)，对t≥0，有

1 主要结果

对上式进行分部积分并整理，得

(4)

定义映射P：Sψ→Sψ：

(5)

其中

I1=[ψ(t0)-Q(t0,ψ(t0-τ1(t0)),…,ψ(t0-τN(t0)))-

I2=Q(t,x(t-τ1(t)),…,x(t-τN(t)))，

显然，(Px)∈C([m(t0)，+∞)，R)。现在证明当t→+∞时，(Px)(t)→0。由于t→+∞时，x(t)→0和t-τj(t)→+∞。因此，对任意ε>0，存在T1>t0，使得当s≥T1时，有|x(s-τj(s))|<ε，j=1，2，…，N。因此，当t≥T1时，式(5)中的最后一项I6满足

此外，存在T2≥T1，使得当t≥T2时，

由(H3)知，|I6|<ε+αε<2ε。因此，当t→+∞时，I6→0。同样地，可以证明当t→+∞时，式(5)中其他项Ii也趋向于零，i=1，2，3，4，5。因此，当t→+∞时，(Px)(t)→0，故Px∈Sψ。

设任意φ、ψ∈Sψ，当t≥t0时，

由条件(H3)可得，P是一个压缩系数为α的压缩映射。所以，由压缩映射原理得，P在空间Sψ上存在唯一不动点x(t)，它是方程(3)的解。且x(t)满足当t∈[m(t0)，t0]，x(t)=ψ(t)，当t→+∞时，x(t，t0，ψ)→0。

显然，当s∈[m(t0)，t0]，有|x(s)|<ε。如果存在t*≥t0，使得x(t*)=ε，且当m(t0)≤s

这与t*的定义相矛盾。这说明，方程(3)的零解渐近稳定。

2 应用举例

例考虑以下非线性中立型多变时滞积分微分方程

(6)

则定理中的α=0.2+0.083 4+0.083 4+0.631 94=0.998 74<1。因此，由定理可得方程(6)的零解是渐近稳定的。

3 结 论