高中数学复习课教学中的美学“唤醒”艺术

张建梅

摘要：本文通过一节具体的高三复习课案例，谈谈如何在高三数学课堂上做到求“真、善”致“美”。要想使教学课堂呈现“真、善、美”，必须采用“唤醒”艺术，因为“唤醒”是课堂教学的力量，是课堂的灵魂。

关键词：唤醒;美学;方程思想;数列通项;高三复习

中图分类号：G633.6文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2019）19-125-2

笔者曾在全区高三数学复习研讨会上了一堂高三復习课的公开课。课题是“运用方程思想研究数列的通项”。本节课以一道简单的问题开始，通过自主探究，小组合作等一系列的体验，唤醒学生的内在潜力，领悟此种数学题型的感性认识，最终获得能力的形成.本节课获得大家的一致好评。

一、教学实录

1.引题探究

等差数列{an}中，a15=10，a60=40，求该数列的通项公式。

解析：由于an是关于n的一次函数，于是，

（15，a15），（60，a60）及（n，an）三点共线，斜率相等。

由a60-a1560-15=an-a15n-15。即40-1060-15=an-10n-15，解得an=23n。

设计意图：这是一道比较简单的问题，学生可以从基本量入手，也可以从等差数列的通项入手，也可以利用等差数列的性质获得最终结果。在大家自由讨论本题的做法并总结后，教师PPT展示上述做法，让学生思考这种方法是运用什么知识点来求解的，由此让学生知晓数列是特殊的函数，可以利用函数的性质来解决此道题目。

函数思想和方程思想是中学阶段两个重要的数学思想，函数和方程互相作用，互相成就彼此。而数列是一种特殊的函数，我们能不能从方程角度来研究数列呢？教师通过边叙述边在黑板上画出下面关系图，从而引出这节课的课题：运用方程的思想研究数列的通项。

2.初步探究

（1）已知等差数列{an}的公差是正数，并且a3a7=-12，求数列{an}的通项公式。

（2）设数列{an}各项均为正数，首项a1=1，an+（n+1）an+1=na2nan+1（n∈N*），求数列{an}的通项公式。

（3）已知数列{an}的前三项分别为a1=5，a2=6，a3=8，且数列{an}前n项和Sn满足Sn+m=12（S2n+S2m）-（n-m）2，其中m，n为任意正整数。求数列{an}的通项公式。

三道题设计的目的分别是：

（1）让学生总结思路，可以通过基本量获得方程组（a1+2d）（a1+6d）=-12（a1+3d）+（a1+5d）=-4，解方程组求{an}的通项公式，或者通过等差数列的性质获得a3、a7是方程x2+4x-12=0的两个根，通过解一元二次方程求解{an}的通项公式。

（2）学生通过变形获得（n+1）a2n+1+anan+1-na2n=0（n∈N*），观察该式子，尝试把该式子看成关于an+1的一元二次方程，亦可以把该式子变形为（n+1）（an+1an）2+（an+1an）-n=0（n∈N*），把该式子看成关于an+1an的一元二次方程，通过解方程即可以获得{an}的通项公式。本题的难点在把条件或理解为一元二次方程或变形为一元二次方程，在方程中，分别视“an+1”和“an+1an”为主变元，通过解方程即可获得结果。一元二次方程式是解开本道题的一把钥匙。

（3）题与上述两个问题不同于“m，n为任意正整数”，正是这一强大的条件赋予Sn+m=12（S2n+S2m）-（n-m）2无限可能。对m进行赋值，由一个方程衍生多个方程，进而得解。本题的难点在于为什么要赋值，对谁赋值，赋什么值。学生可以通过多次赋值尝试，获得经验，最终达到解题的方向。

上述三道题是在学生们自主学习，相互讨论，在老师的点拨提炼下，获得求数列通项的一种方法，即用方程的思想求数列的通项。在方法获得的过程中，教师并没有急功近利，也没有短平快的心态，而是通过提示，思考，再提示，再思考来唤醒学生对这一规律的知觉。

3.合作探究

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an+（-1）n，（n∈N*）。（2004年全国高考题）

（1）写出数列的前三项a1，a2，a3;

（2）求数列{an}的通项公式。

有了前面三道题的初步探究，学生已经基本掌握了用方程思想求数列通项的一般规律。虽然有学生在处理Sn=2an+（-1）n这个条件中的（-1）n显得无从下手，或走歧路，但大部分学生通过对方程思想的感悟，很快打通了本道题求通项的基本思路和方法，最终获得正确的结果。

二、反思

本节课所选取的题目解决方法和策略有很多，由于课时的限制，所以没有一一罗列，只是在如何用方程思想解决数列通项问题进行了归纳和总结：这样做，一方面让学生领悟数学思想的强大，另一方面让学生能知晓这类题型。本节课涉及的题目有思维力度大和运算繁等特点，故基础薄弱的学生可以在课前做些预习，提高课堂效率。如果但总体来讲，本节课是一节成功的“唤醒”。

三、思考

1.求真

求真必须做到以下几个方面：（1）与学生已有知识的联系。学生小学就学过方程，初中学过函数，在高中经历数学思想，从小学到高中这一连续的过程积累，在高三复习阶段学生完全有能力利用数学思想解决数学问题。高三教师在备课的时候一定要了解学生已经掌握的知识和技能，在此基础上，把握“最近发展区”，加速学生的发展。（2）用数学核心素养中“四基”做支撑。数学核心素养中“四基”指“基础知识，基本技能，基本思想与基本活动经验”。本节课中方程思想是数学基本思想，数列通项公式是基础知识，在高三阶段，学生会经常遇到求数列通项的问题，所以在求数列通项这一真实的基本活动经验基础上，让学生有真体验，最终获得真知识。（3）重视学生参与。数学探究活动是综合提升数学学科核心素养的载体[1]。在引题探究中，通过学生动手操作，提出“数列”与“方程”具有怎样的关系这一问题，组织学生“自主、合作、探究”，让学生动手，思考，再动手，再思考最终思维得到提升。蒙台梭利说过：“我看过了，我忘记了。我听过了，我记住了。我做过了，我理解了。”这其实是学习的真实过程，在高三学习时间紧的情况下，舍得花时间做尤为重要，只有通过学生亲力亲为得到的思考才是真思考，收获才是真收获。

2.求善

教学中的“唤醒”是一门艺术。如果说“求真”是对学生提出的要求，那么“求善”即“唤醒”就是对教师提出的要求。如何唤醒学生沉睡的内在潜力？（1）合理科学设计课堂教学。要真正“唤醒”学生的内在知觉，必须要精心安排教学步骤，巧妙設计教学内容，恰当使用教学手段，灵活使用教学方法等。高三要复习的内容很多，如何落实到每一节课上是非常关键的，所以课堂设计要精打细磨，每节课都要有明确的教学目标，教学目标要符合考纲，要适合学生。（2）重视积极评价。“良言一句三冬暖，恶语伤人六月寒”，积极的评价能调动学生的积极性和自信心。在课堂教学中，挖掘学生身上的优点，并给予正确的激励、评价，能唤醒学生积极认识自我、建立信心、促进发展。法国第斯多惠说过：“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒和激舞。”积极评价能够促进师生之间的情感交流，消除学生在学习上的胆怯，重新竖起勇往向前的决心，非智力因素能得到最佳的发挥。（3）设置恰当而有效的提问。“你是怎么想到的？”“关键步骤是什么？”“你说说具体怎么做？”“有没有其他方法？”教师通过认知性提示语，让学生思考由表及里，层层深入。除了上述设置让学生主动积极去思考的提问外，提问更要有针对性。在本节课中，不仅展示学生正确的做法，也展示学生的典型错误，紧紧围绕学生的做法展开有针对性的提问。对不同的学生个体设置不同的有针对性的提问，充分暴露学生思维障碍是提问的要求。问题从学生中来，回到学生中去，让学生自己发现自己的错误，自己解决自己的错误。

3.至美

什么是美？美是能让人身心产生愉悦的一种感觉，是一种无法言喻的一种感觉。教育教学中的美有很多，数学之美更注重理论与方法之美。

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。正因为数学中，充斥着等式和不等式，所以在《数学中的美学方法》这本书中谈到：“在数学美学中，数学方程式的普适性，使类比方法的功能获得极大的巩固与提高，成为数学领域中与其他方法并列的一种科学美学方法[2]”。

在整个课堂设计中，始终围绕“方程思想”和“数列通项”这两大主题，寻找它们的关系、创造它们的关系、追求它们的关系。“方程思想”和“数列通项”在这节课的统一性得到淋漓尽致的体现。统一性是数学美的一个重要标志，也是数学研究的主要方向。

数学的真、善、美往往被淹没在形式的海洋里，需要大力的挖掘、用心观察才能发现、感受和体验[3]。罗素也说过：“数学，如果能正确地看待它，不但拥有真理，也拥有至高无上的美。”“真”、“善”、“美”是人类的追求，也是数学课堂教学追求的最高境界。

[参考文献]

[1]罗增儒.基于核心素养的教学研修[J].中学数学教学参考（上旬），2018（09）.

[2]徐本顺.殷启正.数学中的美学方法[M].江苏：江苏教育出版社，2008.

[3]张奠宙，柴俊.欣赏数学的真善美[J].中学数学教学参考（上旬），2012（1/2）.

（作者单位：南通市通州区金沙中学，江苏 南通226300）