解析几何知识结构与拓展

■江苏省沭阳高级中学 易苏胜

一、知识结构框架

二、结构与分析

通过本单元的学习,同学们在平面直角坐标系中,认识直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征,建立它们的标准方程,运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质及它们的位置关系;运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题,感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。本部分也是高考命题的重点,其中圆锥曲线综合问题难度较大。

典例1已知双曲线0,b＞0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点。设A,B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( )。

分析:利用离心率的大小得出渐进线方程并表示出点A与点B的坐标是求解本题的关键。

解:因为双曲线的离心率为2,所以所以3,即b2=3a2,所以c2=a2+b2=4a2,由题意可设A(2a,3a),B(2a,-3a)。

又因为d1+d2=6,所以解得a= 3,所以b2=9,所以双曲线的方程为故选C。

方法归纳:求双曲线标准方程的常用方法:(1)定义法。根据题目的条件,若满足双曲线的定义,求出a,b的值,即可求得方程。(2)待定系数法。根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准方程,利用题目条件构造关于a,b的值,即可求得方程。

典例2设椭圆的左焦点为F,上顶点为B。已知椭圆的短轴长为4,离心率为

(1)求椭圆的方程;

(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上。若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率。

分析:(1)根据已知条件及a2=b2+c2求出a,b,c的值,即可得到椭圆的方程;(2)先根据题意设直线PB的斜率为k(k≠0),得到PB的方程,与椭圆方程联立,用斜率k表示出点P的坐标,再借助两直线的垂直关系建立方程,即可获解k值。

解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意知,由a2=b2+c2,得b=2,c=1,所以椭圆的方程为

(2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0)。设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得代入y=kx+2得进而直线OP的斜率在y=kx+2中,令y=0,得由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为由OP⊥MN,得化简得k2=从而所以直线PB的斜率为或

方法归纳:圆锥曲线问题常常涉及求方程,联立方程等。常用步骤是:①根据已知条件,建立关于a,b,c的方程或方程组,求出其值,再代入原方程,即可求出所给的曲线方程;②设出所给直线的方程(注:根据题设判断是否需要讨论斜率不存在的情况),把直线方程与圆锥曲线方程联立,利用已知条件建立方程或方程组;③有关弦长问题,可借助弦长公式求解。

典例3(2019年重庆市七校联考)已知A,B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧),且|AB|=a(a＞0),过A,B分别作x轴的垂线,与抛物线y2=2px(p＞0)在第一象限分别交于D,C两点。

(1)若a=p,点A与抛物线y2=2px的焦点重合,求直线CD的斜率;

(2)若O为坐标原点,记△OCD的面积为S1,梯形ABCD的面积为S2,求的取值范围。

分析:确定点A,B,C,D的坐标,利用直线的斜率公式求解;(2)设出直线方程,联立直线方程与抛物线方程,消元,利用根与系数的关系,点到直线的距离公式,表示出面积,即可求出范围。

解:(1)由题意知则则又a=p,所以

(2)设直线CD的方程为y=kx+b(k≠0),C(x1,y1),D(x2,y2),由得ky2-2py+2pb=0,所以Δ=4p2-8pkb＞0,得又由可知k＞0,b＞0。因为点O到直线CD的距离d=所以又所以因为所以

方法归纳:直线与抛物线的位置关系问题,通常通过设方程、联立方程、消元、判别式、根与系数的关系等环节进行处理。

典例4(2019年河北省九校联考)已知椭圆(a＞b＞0)的离心率为点P(0,1)在短轴CD上,且-1。

(1)求椭圆E的方程;

(2)过点P的直线l与椭圆E交于A,B两点,若求直线l的方程。

分析:(1)由椭圆的离心率及=-1,可求得b2,a的值,从而得椭圆方程;(2)考虑直线l的斜率是否存在,分情况讨论,由根与系数的关系及求解。

解:(1)由题意知得不妨取C(0,b),D(0,-b),所以所以b2=2,所以a=2,所以椭圆E的方程为

(2)当直线l的斜率不存在时不符合题意,故此时不存在这样的直线l。

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2)。联立方程得整理得(1+2k2)x2+4kx-2=0,由根与系数的关系得x1+x2=由得所以x2=所以解得所以所以直线l的方程为

方法归纳:涉及直线与圆锥曲线相交,未给出直线方程时,需要根据已知条件设出直线方程(注意斜率是否存在),然后联立组成方程组,消元得一元二次方程,根据具体问题,应用根与系数的关系求解,其中要注意判别式的约束作用。

典例5(2019年福建五校联考)已知椭圆的离心率为上顶点M到直线的距离为3。

(1)求椭圆C的方程。

(2)设直线l过点(4,-2),且与椭圆C相交于A,B两点,l不经过点M,证明:直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值。

分析:(1)根据题设列出关于a,b,c的方程,求出a,b的值;(2)设出直线l的方程,然后与椭圆方程联立得方程组,由韦达定理得x1+x2,x1x2的表达式,把它们代入kMA+kMB的代数式中,从而获解。

解:(1)由题意得解得所以椭圆C的方程为

(2)易知直线l的斜率恒小于0,所以可设直线l的方程为y+2=k(x-4),k＜0,A(x1,y1),B(x2,y2)。

方法归纳:在圆锥曲线与直线、圆、向量等知识的综合问题中,求解有关定值问题时,往往需要灵活运用“设而不求”的技巧,关键在于结合目标问题进行相关的代数运算,另外,还要注意数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想等在解题中的灵活运用。