APP下载

走进函数综合,关注突破方法

2019-12-02王良军

数学教学通讯·初中版 2019年10期
关键词:数形结合函数

王良军

[摘  要] 函数是刻画变量之间联系关系的数学模型,也是初中数学十分重要的知识内容,在中考中常以压轴题的形式出现. 该类问题的突破除了需要掌握函数的知识定理,还需要使用一定的技巧方法. 文章以一道函数综合题为例,开展思路突破,多解探析.

[关键词] 函数;存在性;等腰三角形;数形结合

考题呈现

(2019年盐城中考)如图1,二次函数y=k(x-1)2+2的图像与一次函数y=kx-k+2的图像交于A,B两点,点B在点A的右侧,直线AB分别与x轴、y轴交于点C和点D,其中k<0.

(1)求A,B两点的横坐标.

(2)若△OAB是以OA为一腰的等腰三角形,求k的值.

(3)二次函数图像的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数k,使得∠ODC=2∠BEC?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

思路突破

上述属于二次函数与一次函数的压轴题,题干给出相应函数的解析式,以及图像上关键点的位置关系. 题目包含三问,涉及点的坐标求值、特殊情形下参数k的求值,以及存在性问题. 下面对其解题思路加以探究.

1. 联立函数,定位交点

第(1)问求A,B两点的横坐标,考虑到上述两点就是二次函数与一次函数的交点,因此实际上是传统的交点问题,只需要联立两函数的解析式即可,即联立y=k(x-1)2+2,y=kx-k+2, 可解得x=1或x=2. 由于点B在点A的右侧,所以点A的横坐标为1,点B的横坐标为2. 另外,还可以推知A(1,2),B(2,k+2).

2. 分类等腰,讨论腰长

第(2)问求△OAB是以OA为一腰的等腰三角形时k的值,属于等腰三角形存在性问题,而k属于二次函数和一次函数解析式中的参数,其数值大小影响点的坐标,而点的坐标关系到线段长,因此此问基本的解题思路是“利用等腰性质→提取等长线段→构建代数方程→解析确定k值”. 题干只说OA是等腰三角形的一条腰,但并没有说明另一条腰,因此存在OA=AB和OA=OB两种情形,需要分类讨论.

当OA=AB时,已知点A和点B的坐标分别为(1,2),(2,k+2),根据两点之间的距离公式可求得OA= ,AB= ,于是有 = ,解得k=2(舍去)或k=-2.

当OA=OB时,可求得OB= ,于是有 = ,解得k=-1或k=-3.

综上可知,若△OAB是以OA为一腰的等腰三角形,k的值可为-1,-2或-3.

3. 提取模型,数形结合

第(3)问设定了点E的位置,要求分析是否存在k值使得∠ODC=2∠BEC,属于角度关系中的存在性问题. 考虑到角度关系涉及倍数,因此较为常规的方式是在几何图形中构建等角,将其转化为对应角的大小分析,然后借助特殊图形的性质,构建相应的求解模型,即通过数形结合的方式,将几何问题转化为对应的代数问题. 实现由“形”到“数”的定理公式有很多,常见的有距离公式、三角函数式、勾股定理、相似图形线段长关系式等,解题时需要根据图形结构来选用定理公式.

本题中点B的坐标为(2,k+2),k的值影响到点B在抛物线上的位置,具体可以分为x轴上方和x轴下方两种情形.

当点B在x轴上方时,过点A作x轴的垂线,与x轴的交点就为点E,连接BE,过点B作x轴的平行线,与AE交于点H,然后作∠HAB的平分线,交HB于点M,再过点M作AB的垂线,垂足为N,过点B作x轴的垂线,垂足为K. 为方便分析,从图形中提取△ABH中的内部结构,如图2. 由图形性质可知,AE∥OD,可确定△ODC与△HAB为相似三角形,可得∠ODC=∠HAB,则问题可转化为分析∠HAB与∠BEC的倍数关系,再由角平分线的性质可进一步细化为分析∠HAM与∠BEC的大小关系. 考虑到两角均位于对应的直角三角形中:∠HAM为△HAM的一个内角,∠BEC为△EBK的一个内角,则可以利用直角三角形中的三角函数来实现等角向代数分析的转化,即当∠HAM=∠BEC时,tan∠HAM=tan∠BEC. 根据A,B的坐标可求得AH=-k,HB=1,设HM=MN=m,则BM=1-m,AN=AH=-k,AB= ,NB=AB-AN. 在Rt△MNB中使用勾股定理,可得BM2=MN2+NB2,即(1-m)2=m2+( +k)2,解得m=-k2-k . 在△AHM中,tan∠HAM= = ,又tan∠BEC= =k+2,若∠HAM=∠BEC,则 =k+2,解得k=± ,舍去其中的正值,可得k=- .

当点B在x轴下方时,同理,tan∠HAM= = =tan∠BEK= =-(k+2),其中m=-k2-k ,k<-2,可解得k1= (舍),k2= .

综上可知,当k的值为- 或 时,可使得∠ODC=2∠BEC.

多解探究

上述考题属于二次函数与一次函数的综合题,其前两问属于常规问题,只需要按照常见的解题思路来逐步推导即可. 其核心之问为考题的第(3)问,属于角关系的存在性问题,需要通过几何关系的分析来确定参数k的值. 上述利用等角的三角函数相等知识,构建了相应的求解方程,实现了数形结合的解题突破. 对于该問,还可以直接由几何角的大小关系来探讨图形特性,利用图形特性来求解k值,具体如下.

过点A作x轴的垂线,则垂足就为点E,同样的,点B的位置可以分为位于x轴上方和x轴下方两种情形,可以先假设存在k值使得∠ODC=2∠BEC.

当点B在x轴上方时,连接EB,设∠BEC=α,分析可知OD∥AE,则∠ODC=∠EAB=2α,如图3,可知∠AEB=90°-α,则∠ABE=180°-2α-(90°-α)=90°-α,所以∠AEB=∠ABE. 所以△AEB是等腰三角形,且AE=AB. 可求得A(1,2),E(1,0),B(2,k+2),其中-2

当点B在x轴下方时,延长AE至点F,使得BF与x轴平行,然后作点E关于FB对称的点G,连接GB,如图4. 设∠BEC=α,由两线平行的性质可知∠BEC=∠EBF=α,结合对称知识可进一步推知∠BEC=∠EBF=∠GBF=α. 又知∠ODC=∠EAB=2α,∠AGB=∠GEB=∠EAB+∠ABE=2α+∠ABE,而∠ABG=2α+∠ABE,所以∠AGB=∠ABG. 所以△AGB为等腰三角形,且AG=AB. 可确定A(1,2),E(1,0),B(2,k+2),G(1,2k+4),其中k<-2,利用两点之间的距离公式可构建方程1+k2=(2k+2)2,从而可解得k1= (舍),k2= .

综上可知,当k的值为- 或 时,可使得∠ODC=2∠BEC.

上述所采用的虽然也是构建代数方程的方式来求解参数k,但与之前的剖析思路不同,不再利用三角函数,而是直接利用等腰三角形“等角对等边”来构建模型. 其解析的难度在于将条件“∠ODC=2∠BEC”转化为图形中的等角关系. 从整体上来看,同第(2)问类似,依然属于等腰三角形存在性问题. 对于等腰三角形存在性问题,常用的处理方法有两种:一是几何方法,即单纯地通过几何关系来确定点的位置;二是代数法,即利用等腰三角形的性质定理来构建代数方程. 而上述的问题分析则是几何与代数方法的综合,其优势在于数形结合,由“数”构“形”,以“形”化“数”,实现了问题的直观简单化求解.

解后反思

函数综合题在历年中考中常以压轴题的形式出现,其特色在于可以利用函数与几何之间的联系来考查学生几何、函数、图形构造等知识和技能,是对当下素质教育“知识应用”理念的贯彻. 通过对上述考题的解析突破,有以下几点学习建议.

1. 关注数学的基础知识

上述雖然属于二次函数的综合题,但由其解题过程可知问题的突破依然是基础知识的组合应用. 例如考题解析应用到了两点之间的距离公式、勾股定理、三角函数、角平分线性质、对称性质、三角形相似等知识,正是对数学基础知识的合理调用,从而发现了图形特性,获得了问题突破的关键条件. 因此教学中,教师不能过于注重“题海”演练,而忽视了数学基础知识的讲解,应以教材的基本定理、定义、公式、方法作为教学基础,使学生深刻理解基础知识的内涵,能够在问题剖析中灵活运用.

2. 重视问题的多解剖析

中考真题的优点在于看待问题的角度不同,可以产生不同的解题灵感,尤其是一些优秀的综合题. 例如上述考题的第(3)问,如将条件视为三角函数构建的基础,则可以通过三角函数来解析突破,若将其视为图形的特性条件,则可以通过构造等腰三角形,利用等线段长来解析突破. 通过对问题的多解剖析可以发现问题的本质,即依托等角关系建立代数关系,利用代数分析确定参数取值. 因此在实际教学中需要教师注重问题的多解探究,通过对特定问题的多角度分析来提升学生思维的灵活性,激发学生创新思考.

3. 注重解题的思想方法

思想方法是数学解题的精华,也是数学的灵魂所在,掌握数学思想方法,不仅可以提升数学解题能力,更可以提升数学思维. 例如上述考题的解析过程运用了数形结合思想和构造思想,即通过数形结合的分析方式准确把握了图形结构,有效利用图形特点构建了相应的代数模型,而利用构造思想实现了图形特殊化,获得了问题求解的特殊模型. 上述两种思想方法尤其适用于函数综合问题的突破,建议教师在函数和几何知识的教学中结合具体内容加以渗透,使学生初步理解思想方法的内涵,掌握思想方法解题的基本步骤,促进学生数学思想的发展.

猜你喜欢

数形结合函数
第3讲 “函数”复习精讲
二次函数
第3讲 “函数”复习精讲
二次函数
函数备考精讲
第3讲“函数”复习精讲
数形结合在解题中的应用
浅析数形结合方法在高中数学教学中的应用
用联系发展的观点看解析几何
妙用数形结合思想优化中职数学解题思维探讨