走进函数综合，关注突破方法

王良军

[摘  要] 函数是刻画变量之间联系关系的数学模型，也是初中数学十分重要的知识内容，在中考中常以压轴题的形式出现. 该类问题的突破除了需要掌握函数的知识定理，还需要使用一定的技巧方法. 文章以一道函数综合题为例，开展思路突破，多解探析.

[关键词] 函数;存在性;等腰三角形;数形结合

考题呈现

（2019年盐城中考）如图1，二次函数y=k（x-1）2+2的图像与一次函数y=kx-k+2的图像交于A，B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x轴、y轴交于点C和点D，其中k<0.

（1）求A，B两点的横坐标.

（2）若△OAB是以OA为一腰的等腰三角形，求k的值.

（3）二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC=2∠BEC？若存在，求出k的值;若不存在，请说明理由.

思路突破

上述属于二次函数与一次函数的压轴题，题干给出相应函数的解析式，以及图像上关键点的位置关系. 题目包含三问，涉及点的坐标求值、特殊情形下参数k的求值，以及存在性问题. 下面对其解题思路加以探究.

1. 联立函数，定位交点

第（1）问求A，B两点的横坐标，考虑到上述两点就是二次函数与一次函数的交点，因此实际上是传统的交点问题，只需要联立两函数的解析式即可，即联立y=k（x-1）2+2，y=kx-k+2， 可解得x=1或x=2. 由于点B在点A的右侧，所以点A的横坐标为1，点B的横坐标为2. 另外，还可以推知A（1，2），B（2，k+2）.

2. 分类等腰，讨论腰长

第（2）问求△OAB是以OA为一腰的等腰三角形时k的值，属于等腰三角形存在性问题，而k属于二次函数和一次函数解析式中的参数，其数值大小影响点的坐标，而点的坐标关系到线段长，因此此问基本的解题思路是“利用等腰性质→提取等长线段→构建代数方程→解析确定k值”. 题干只说OA是等腰三角形的一条腰，但并没有说明另一条腰，因此存在OA=AB和OA=OB两种情形，需要分类讨论.

当OA=AB时，已知点A和点B的坐标分别为（1，2），（2，k+2），根据两点之间的距离公式可求得OA= ，AB= ，于是有 = ，解得k=2（舍去）或k=-2.

当OA=OB时，可求得OB= ，于是有 = ，解得k=-1或k=-3.

综上可知，若△OAB是以OA为一腰的等腰三角形，k的值可为-1，-2或-3.

3. 提取模型，数形结合

第（3）问设定了点E的位置，要求分析是否存在k值使得∠ODC=2∠BEC，属于角度关系中的存在性问题. 考虑到角度关系涉及倍数，因此较为常规的方式是在几何图形中构建等角，将其转化为对应角的大小分析，然后借助特殊图形的性质，构建相应的求解模型，即通过数形结合的方式，将几何问题转化为对应的代数问题. 实现由“形”到“数”的定理公式有很多，常见的有距离公式、三角函数式、勾股定理、相似图形线段长关系式等，解题时需要根据图形结构来选用定理公式.

本题中点B的坐标为（2，k+2），k的值影响到点B在抛物线上的位置，具体可以分为x轴上方和x轴下方两种情形.

当点B在x轴上方时，过点A作x轴的垂线，与x轴的交点就为点E，连接BE，过点B作x轴的平行线，与AE交于点H，然后作∠HAB的平分线，交HB于点M，再过点M作AB的垂线，垂足为N，过点B作x轴的垂线，垂足为K. 为方便分析，从图形中提取△ABH中的内部结构，如图2. 由图形性质可知，AE∥OD，可确定△ODC与△HAB为相似三角形，可得∠ODC=∠HAB，则问题可转化为分析∠HAB与∠BEC的倍数关系，再由角平分线的性质可进一步细化为分析∠HAM与∠BEC的大小关系. 考虑到两角均位于对应的直角三角形中：∠HAM为△HAM的一个内角，∠BEC为△EBK的一个内角，则可以利用直角三角形中的三角函数来实现等角向代数分析的转化，即当∠HAM=∠BEC时，tan∠HAM=tan∠BEC. 根据A，B的坐标可求得AH=-k，HB=1，设HM=MN=m，则BM=1-m，AN=AH=-k，AB= ，NB=AB-AN. 在Rt△MNB中使用勾股定理，可得BM2=MN2+NB2，即（1-m）2=m2+（ +k）2，解得m=-k2-k . 在△AHM中，tan∠HAM= = ，又tan∠BEC= =k+2，若∠HAM=∠BEC，则 =k+2，解得k=± ，舍去其中的正值，可得k=- .

当点B在x轴下方时，同理，tan∠HAM= = =tan∠BEK= =-（k+2），其中m=-k2-k ，k<-2，可解得k1= （舍），k2= .

综上可知，当k的值为- 或 时，可使得∠ODC=2∠BEC.

多解探究

上述考题属于二次函数与一次函数的综合题，其前两问属于常规问题，只需要按照常见的解题思路来逐步推导即可. 其核心之问为考题的第（3）问，属于角关系的存在性问题，需要通过几何关系的分析来确定参数k的值. 上述利用等角的三角函数相等知识，构建了相应的求解方程，实现了数形结合的解题突破. 对于该問，还可以直接由几何角的大小关系来探讨图形特性，利用图形特性来求解k值，具体如下.

过点A作x轴的垂线，则垂足就为点E，同样的，点B的位置可以分为位于x轴上方和x轴下方两种情形，可以先假设存在k值使得∠ODC=2∠BEC.

当点B在x轴上方时，连接EB，设∠BEC=α，分析可知OD∥AE，则∠ODC=∠EAB=2α，如图3，可知∠AEB=90°-α，则∠ABE=180°-2α-（90°-α）=90°-α，所以∠AEB=∠ABE. 所以△AEB是等腰三角形，且AE=AB. 可求得A（1，2），E（1，0），B（2，k+2），其中-2

当点B在x轴下方时，延长AE至点F，使得BF与x轴平行，然后作点E关于FB对称的点G，连接GB，如图4. 设∠BEC=α，由两线平行的性质可知∠BEC=∠EBF=α，结合对称知识可进一步推知∠BEC=∠EBF=∠GBF=α. 又知∠ODC=∠EAB=2α，∠AGB=∠GEB=∠EAB+∠ABE=2α+∠ABE，而∠ABG=2α+∠ABE，所以∠AGB=∠ABG. 所以△AGB为等腰三角形，且AG=AB. 可确定A（1，2），E（1，0），B（2，k+2），G（1，2k+4），其中k<-2，利用两点之间的距离公式可构建方程1+k2=（2k+2）2，从而可解得k1= （舍），k2= .

综上可知，当k的值为- 或 时，可使得∠ODC=2∠BEC.

上述所采用的虽然也是构建代数方程的方式来求解参数k，但与之前的剖析思路不同，不再利用三角函数，而是直接利用等腰三角形“等角对等边”来构建模型. 其解析的难度在于将条件“∠ODC=2∠BEC”转化为图形中的等角关系. 从整体上来看，同第（2）问类似，依然属于等腰三角形存在性问题. 对于等腰三角形存在性问题，常用的处理方法有两种：一是几何方法，即单纯地通过几何关系来确定点的位置;二是代数法，即利用等腰三角形的性质定理来构建代数方程. 而上述的问题分析则是几何与代数方法的综合，其优势在于数形结合，由“数”构“形”，以“形”化“数”，实现了问题的直观简单化求解.

解后反思

函数综合题在历年中考中常以压轴题的形式出现，其特色在于可以利用函数与几何之间的联系来考查学生几何、函数、图形构造等知识和技能，是对当下素质教育“知识应用”理念的贯彻. 通过对上述考题的解析突破，有以下几点学习建议.

1. 关注数学的基础知识

上述雖然属于二次函数的综合题，但由其解题过程可知问题的突破依然是基础知识的组合应用. 例如考题解析应用到了两点之间的距离公式、勾股定理、三角函数、角平分线性质、对称性质、三角形相似等知识，正是对数学基础知识的合理调用，从而发现了图形特性，获得了问题突破的关键条件. 因此教学中，教师不能过于注重“题海”演练，而忽视了数学基础知识的讲解，应以教材的基本定理、定义、公式、方法作为教学基础，使学生深刻理解基础知识的内涵，能够在问题剖析中灵活运用.

2. 重视问题的多解剖析

中考真题的优点在于看待问题的角度不同，可以产生不同的解题灵感，尤其是一些优秀的综合题. 例如上述考题的第（3）问，如将条件视为三角函数构建的基础，则可以通过三角函数来解析突破，若将其视为图形的特性条件，则可以通过构造等腰三角形，利用等线段长来解析突破. 通过对问题的多解剖析可以发现问题的本质，即依托等角关系建立代数关系，利用代数分析确定参数取值. 因此在实际教学中需要教师注重问题的多解探究，通过对特定问题的多角度分析来提升学生思维的灵活性，激发学生创新思考.

3. 注重解题的思想方法

思想方法是数学解题的精华，也是数学的灵魂所在，掌握数学思想方法，不仅可以提升数学解题能力，更可以提升数学思维. 例如上述考题的解析过程运用了数形结合思想和构造思想，即通过数形结合的分析方式准确把握了图形结构，有效利用图形特点构建了相应的代数模型，而利用构造思想实现了图形特殊化，获得了问题求解的特殊模型. 上述两种思想方法尤其适用于函数综合问题的突破，建议教师在函数和几何知识的教学中结合具体内容加以渗透，使学生初步理解思想方法的内涵，掌握思想方法解题的基本步骤，促进学生数学思想的发展.