聚焦解题反思，提升解题能力

肖文芳

[摘  要] 教师在解题教学中，应积极引导学生在反思中学会理智地分析問题，在反思中学会互相合作，在反思中学会享受学习的快乐.文章提出了三种提高学生解题能力的反思途径：方法反思、多解反思与错解反思.

[关键词] 方法;多解;错解;反思

在每次考试后，经常听到教师这样抱怨：“这道题，我已经在课上讲了n遍了，可还是好多学生没有解对，不知道他们是怎么学的！”也常听见学生这样埋怨：“这种题在考试前我都做过，怎么到了考试的时候还是做不对！我开始怀疑世界了. ”走进课堂，不难发现，在许多时候，教师只是反反复复将例题讲一题是一题，解后不加以总结，也不善于引导学生进行及时反思，于是，学生的思维永远停留在低水平的层次，只会模仿，不会创新，导致听得懂却不会做的结果. 数学教育家弗赖登塔尔就指出：反思是数学活动的核心和动力. 那么，教师在解题教学中该如何引导学生反思呢？

方法反思，激发兴趣

数学解题，并不仅仅是知识与技能的交汇，也是学生整个身心和情感投入的过程. 在这个过程中，学生既品尝了失败的苦涩，又收获了成功以后的满足感，无论是独立思考，还是互相合作完成，都是个人智慧与集体力量的反映. 在这个有利时机，引导学生反思，能唤起学生的学习热情，点燃他们的智慧火花，让他们感受到学习其实是一件既快乐又十分有趣的事情，从而催生其主动学习的积极性，并进一步形成良好的思维品质.

比如，正方体的展开图有多种形式，仔细算来有十一种. 那么在不将展开图还原成正方体的情况下，在图形中能快速找到相互重合的顶点吗？教师引导学生思考象棋中“马走日”的方法，即从正方体展开图的某一顶点出发，按照“马”在象棋中走“日”字的方法，连续走两步，终点与始点便是该展开图还原成正方体时的重合顶点（文中的虚线箭头一律代表“马”行走的路线和方向），这种新奇的方法往往能引起学生的兴致.

如图1、图2，“马”从点A出发，连续走两步到达点B，则点B与点A是该展开图还原成正方体时的重合顶点.

如图3，“马”从点A出发，连续走两步到达点B，再从点B出发，连续走两步到达点C，则点B，C与点A是该展开图还原成正方体时的重合顶点.

如图4，“马”从点A出发，连续走两步到达点B或点C，则点B，C与点A是该展开图还原成正方体时的重合顶点.

例1  图5是一个正方体纸盒的展开图，当把几何体还原后，与点1重合的点是（      ）

A. 4，9          B. 8，11

C. 11，3        D. 9，3

分析  依据“马”的“运动规则”，可知：从点1出发，连续走两步到达点3或点11，那么点3、点11与点1是该展开图还原折成纸盒时的重合点，本题选C.

对于某些题目，或许学生暂时不会处理，但只要他们有解决问题的欲望，这时教师恰当引导，不断反思，往往能使学生拨开迷雾，看清“庐山真面目”.

多解反思，激活思维

常言道：山不在高，有仙则名;水不在深，有龙则灵. 而笔者想说：题不在多，有反思则行. 题海战术，无法实现提高学生解题能力、发展思维的教学目标，而倡导并坚持解题后反思，才是直达成功的绿色通道. 首先要反思解题过程，从解题过程中感悟解题方法、进而总结出解题规律. 我们可以对原题进行变式，在例题的不断变化中，激活学生的思维，开拓学生的眼界.

例2  如图6所示，A，B两点的坐标分别是（2 ，0），（0，2），点P在△ABO的外接圆上，且∠AOP=45°，请计算点P的坐标.

本题来源于某地区中考真题，以圆为背景，让直角坐标系、点的坐标及特殊的三角函数“三剑客”打“组合拳”，在问题的解决中考查了基本的数学思想与方法. 本题是一道综合性较强，能力要求较高的综合题.

解答此题，教师可以先引导学生根据已知条件和题图求出PA=PB=2 . 如何求出点P的坐标，教师不妨引导学生多角度思考.

分析1  现在要计算P点坐标，其实就是计算点P到x轴与y轴的距离. 为此可作PC⊥x轴，垂足为点C，于是问题转化为求OC，PC的长（如图7）.

由∠AOP=45°知OC=PC，在Rt△PCA中，利用勾股定理即可求出PC. 设OC=PC=x，则AC=2 -x. 在Rt△PCA中，由PC2+AC2=PA2，得x2+（2 -x）2=（2 ）2，解得x= +1（ -1不合题意，舍去），故点P的坐标为（ +1， +1）.

反思  思路1其实就是已知△OPA的两边PA，OA和∠AOP，求AB边上的高的问题，故只需在Rt△PCA中，由勾股定理建立方程就可以了.

分析2  因为△OPA中的三个角（∠AOP=45°，∠2=∠1=60°）都已知，且OA=2 ，所以只需求出OP长即可，故想到作AC⊥OP（如图8）.

在Rt△OCA中，由∠AOP=45°，得OC= . 在Rt△ACP中，由∠2=60°，PA=2 ，得PC= . 所以PO= + ，于是不难得出点P（ +1， +1）.

反思  比较两种解法，有着惊人相似的一幕，它们都是在△OPA中通过作高，将斜三角形转化为直角三角形来解，即所谓的化一般为特殊，化陌生为熟悉，体现出基本的转化思想.

下面我们换个角度来分析：∠AOP=45°，除可以得到∠AOP=∠POB=45°外，你还能得出其他性质吗？于是结合所要求的结论（点P的坐标），容易想到角平分线的有关性质，从而得到PC=PD（如图9）. 于是四边形DOCP是正方形，所以只需求出这个正方形的边长.

分析3  如图9，过点P分别作两坐标轴的垂线PC与PD. 因为PA=PB=2 ，∠AOP=∠POB=45°，所以△PDB≌△PCA. 所以DB=CA. 设DB=x，由DB+OB=OA-AC，得x+2=2 -x，x= -1，所以OD=x+2= +1. 故点P的坐标为（ +1， +1）.

反思  将3种思路做比较，不难发现思路3最简捷，这种解法抓住了问题的几何本质，直观地发现有关线段长度之间的关系，进而利用这種关系通过建立方程对问题加以解决.

从本例可以看出，一节课讲透一道题胜于一节课做十道题！反思一题，以点带面，这才是解题教学的最高境界.

错解反思，防患未然

初中学生的知识水平，思考问题的习惯与方法，对事物的认识和感受有所欠缺，出现错误不足为奇，例题教学如能以之为突破口，引导学生进行解题后的反思，则可以发现问题的“症结”所在，通过“对症下药”，往往能收到事半功倍的理想效果. 其实，习题中的错解，是反思的极好素材. 教师在解题教学中，适时引入这个“素材”，让学生对错解进行反思，可起到防患于未然的作用.

例3  已知甲、乙两艘渔船都在B港，如果甲船以每小时8海里的速度沿北偏东60°方向前进，而乙船以每小时15海里的速度向某个方向前进，两个小时后，甲船到达M岛，乙船到达P岛，已知M，P两岛相距34海里，同学们，你能计算乙船的航向吗？

错解展示  甲船航行的距离为BM=8×2=16（海里），乙船航行的距离为BP=15×2=30（海里）. 因为162+302=1156，342=1156，所以BM2+BP 2=MP 2，所以△MBP为直角三角形，所以∠MBP=90°，因为甲船是沿北偏东60°方向航行的，故乙船的航向为沿着南偏东30°.

引导反思  上述错解默认乙船的航向是按南偏东某个角度航行的，但题目里没有这个条件，这是犯了“主观臆断”的错误，事实上，乙船还可北偏西航行，同样可以使得M，P两岛相距34海里.

集体纠错  甲船航行的距离为BM=8×2=16（海里），乙船航行的距离为BP=15×2=30（海里）. 因为162+302=1156，342=1156，所以BM2+BP2=MP2，所以△MBP为直角三角形，所以∠MBP=90°，当乙船以南偏东方向航行时，它的航向是南偏东30°;当乙船以北偏西方向航行时，它的航向是北偏西30°.

教师每天与学生的作业打交道，发现错解，不仅要及时让学生订正，更要让他们反思，学生学会独立反思，互相反思，独立纠错，互相纠错，在独立思考和合作学习中，不断反思自己的思维行为，从而在反思中不断提升思维水平.

数学思维深刻性的培养，离不开反思这个环节. 这种反思，不是教师强加于学生的，而是学生的自觉活动，只能靠学生自己独立完成. 教师在解题教学中，应积极引导学生在反思中学会理智地分析问题，在反思中学会互相合作，在反思中学会享受学习的快乐.