高维Euler方程组的强松驰极限

2019-11-28徐志琳林春进

吉林大学学报（理学版） 2019年6期

关键词：对式初值范数

徐志琳,林春进

(河海大学理学院,南京 210098)

0 引言

考虑如下高维带松弛项的Euler方程组：

(1)

其初始条件为

ρ(x,0)=ρ0(x),u(x,0)=u0(x).

(2)

这里:x∈n为空间变量;t>0为时间变量;ε>0为松弛常数;ρ(x,t)∈和u∈n分别表示流体在t时刻、x处的密度和速度;P=P(ρ)表示流体的压强,对于任意的ρ>0,满足P′(ρ)>0.

对于Euler方程组整体解的研究目前已有很多成果[1-12]：文献[1]研究了一维Euler方程组在Lagrange坐标下解的大时间行为,并证明了当时间t→∞时,方程组(1)的解收敛于非线性扩散方程的解;文献[5]用流函数的方法证明了等温Euler方程组的解在有界变差的初值条件下收敛于热传导方程的解;文献[6]利用熵变量研究了在初值充分小时,等温Euler方程组的光滑解当ε→0时收敛于热传导方程的解;文献[7]利用熵变量,将文献[6]的结论推广到包含等熵Euler方程组在内的一般Euler方程组上；文献[8]将这类方法推广到一般的松弛极限.但该方法对方程对称子关于变量的依赖关系有较高要求.文献[9]通过引入新的变量,利用Euler方程的等价形式得到了有效的能量估计,从而证明了解的整体存在性；文献[10]在能量估计中利用密度关于时间t的偏导数估计,得到了解的整体存在性；文献[11-12]利用该方法得到了类似的结果.但文献[9-12]中只考虑了带阻尼项的Euler方程解的整体存在性(即ε=1情形),由于缺少关于时间的一致先验估计,因此不能直接用来处理松弛极限.文献[13]讨论了相互作用力下带阻尼的Euler方程的极限模型；文献[14-15]讨论了带阻尼的Euler方程强松弛极限在其他物理模型上的推广.本文借助文献[6-8]的方法和文献[9-10]中能量估计的技巧,建立一般的可压缩Euler方程组的解关于ε的一致先验估计,从而获得光滑解的整体存在性.

这里C和δ与参数ε和初值(ρ0,u0)均无关.

本文关于松弛极限的结论与文献[6]一致,但获得解的估计比文献[6]更精细,且本文对松弛模型的研究方法可推广至更一般的物理模型中.若无特殊说明,本文中C均表示一个与ε和初值均无关的正常数,但不同之处可表示不同的值.用α∈n表示多重指标,即α=(α1,α2,…,αn),其中αi∈,i=1,2,…,n,用|α|表示其阶数,即|α|=α1+α2+…+αn.∂α表示关于x的|α|阶偏导数,‖·‖L2,‖·‖L∞,‖·‖Hk分别表示n上的L2范数、L∞范数和Hk范数.

1 一致先验估计

(3)

其中

(4)

由式(3)中的质量守恒方程可得速度变量的散度为

(5)

对于(V,U)∈C([0,T];Hk(n)),定义能量泛函为

若Nε(T)≤δ,则根据Nε(T)的定义以及Sobolev嵌入定理,可知

(7)

由式(7)式,易见

(8)

下面进行能量估计,首先证明如下的L∞(Hk)估计:

命题1若扰动方程组(3)的解(V,U)∈C([0,T],Hk(n)),且满足Nε(T)≤δ,则存在常数C,使得对于∀t∈[0,T],有

下面估计式(10)右端的第一个积分,结合式(5),有

其中[,]表示交换子,即

[A,B]C=A(BC)-B(AC).

对于I1,通过分部积分,有

由式(7)知

则

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