软正合序列的若干性质

吴 越,马 晶

(吉林大学 数学学院,长春 130012)

目前，关于软集的研究已有很多结果[1-5],关于软模的研究也取得了丰富的成果[6-18].例如：Sun等[6]定义了软模并且讨论了软模的基本性质;Atagün等[7]给出了环和模的软结构;Xiang[8]讨论了软模的性质;Ozturk等[9]讨论了软模的正向系统和反向系统;Türkmen等[10]引入了软子模的和与直和、小软子模、软模的根,并讨论了软模的根与软模的小软子模及极大软子模之间的联系；Shah等[11]给出了软环和软模的准素分解；Celep等[12]定义了软模的本质软子模和软子模的补,并讨论了其基本性质；文献[13]定义了软子模的socle,给出了与文献[12]不同的本质软子模的又一个定义,讨论了本质软子模和软模socle的基本性质,并分别给出了本质软子模、软模的 socle和根的若干等价定义.本文利用模论知识[19-20]和软模的基本性质,讨论软同态的分解性质以及软正合序列的若干性质,证明软同态都可以分解为一个满的软同态和一个单的软同态的复合,并利用两个软正合序列构造一个新的软正合序列.

1 预备知识

定义1[1]设U是一个集合,E是一个参数集,P(U)为U的幂集,并且A⊆E.一个有序对(F,A)称为U上的软集,其中F:A→P(U)是一个取值为集合的映射.

其中H(x)=F(x)∩G(x),x∈A∩B.

本文若无特别说明,总设R是一个有单位元的结合环,所有模都是R-模.设M和N都是R-模,如果N是M的子模,则记为N≤M.

定义4[6]设M是一个R-模,(F,A)是M上的软集.如果对任意的a∈A总有F(a)≤M,则称(F,A)是M上的一个软模.

定义6[7]如果对任意的a∈A总有F(a)={0},则M上的软模(F,A)称为平凡的,记为(F,A) =0.

定义7[10]设(F,A)是M上的软模,{(Fi,Ai)}i∈I是(F,A)的一族软子模,其中I是一个非空集合.(F,A)的软子模{(Fi,Ai)}i∈I之和定义为

其中

定义8[6]设M,N为R-模,(F,A)和(G,B)分别是M和N上的软模.如果f:M→N是一个模同态,并且映射g:A→B使得对任意的a∈A都有f(F(a))=G(g(a)), 则称有序对(f,g)为软同态,记为(f,g): (F,A)→(G,B).

定义10设(F,A)和(G,B)分别是模M和模N上的软模,(f,g): (F,A)→(G,B)是软同态.对a∈A,令K(a)=Kerf∩F(a),则(K,A)为M上的软模,称为软同态(f,g)的核,记为Ker(f,g).

定义11设M和N是左R-模,(F,A)和(G,B)分别是模M和模N上的软模.(f,g): (F,A)→(G,B)是软同态, 如果g:A→B是满的,则称(f,g): (F,A)→(G,B)为满的软同态.

2 主要结果

定义12设M和N是左R-模,(F,A)和(G,B)分别是模M和模N上的软模,(f,g): (F,A)→(G,B)是软同态.如果g:A→B是单的,则称(f,g): (F,A)→(G,B)为单的软同态.

定理1软同态都可以分解为一个满的软同态和一个单的软同态的复合.

证明: 设M和N是R-模,(F,A)和(G,B)分别是模M和模N上的软模,(f,g): (F,A)→(G,B)是软同态.令g′:A→g(A)使得g′(a)=g(a),a∈A.则映射g′是满的,所以(f,g′): (F,A)→(Gg(A),g(A))是满的软同态.令g″是g(A)到B的嵌入,显然g″是单射.取f″=1N,则软同态(f″,g″): (G,g(A))→(G,B)是单的软同态,并且(f,g)=(f″,g″)(f,g′),即软同态都可以分解为一个满的软同态和一个单的软同态的复合.证毕.

定义13设

在每个(Fn,An)处都是软正合的,即对每对连续的软同态(fn,gn)和(fn+1,gn+1)总有Im(fn,gn)=Ker(fn+1,gn+1),则称其为一个软正合序列.

定理2设M和N是左R-模,(F,A)与(G,B)分别是模M和模N上的软模,(f,g),(f′,g′),(f″,g″)是软同态,则：

3) 由结论1)和2)立即可得.证毕.

定理3设M,N,M′是左R-模,(F,A),(G,B),(H,C)分别是模M,N,M′上的软模.如果序列

(1)

在(G,B)处是软正合的,则A=B,并且(f2,g2)(f1,g1)=0.

证明：因为Im(f1,g1)=(f1F,A),Ker(f2,g2)=(K,B),其中K(b)=Kerf2∩F(b),b∈B，则由软正合的定义可知软模序列(1)在(G,B)处是软正合的当且仅当A=B，并且Im(f1,g1)=Ker(f2,g2),即A=B并且f1F(a)=Kerf2∩F(a),a∈A.此时,对a∈A总有f1F(a)⊆Kerf2,于是f2f1F(a)=0,故软同态(f2,g2)和(f1,g1)的复合(f2,g2)(f1,g1)是零映射.证毕.

定理4设(Fi,Ai)(i=1,2,3,4,5)分别是模Mi上的软模,如果序列

(2)

和序列

(3)

都是软正合列,则序列

(4)

也是软正合列.

证明：因为序列(2)和(3)都是软正合的,所以序列(4)在(F1,A1)和(F5,A5)处是软正合的.下面只需证明序列(4)在(F2,A2)和(F4,A4)处是正合的.

首先,验证序列(4)在(F2,A2)处是正合的.由于软模序列(2)和(3)都是软正合的,由定理2可知Ai(i=1,2,3,4,5)均相等,记为A,

f2F2=F3,

(5)

并且对a∈A总有

Kerf3∩F3(a)=0.

(6)

由序列(2)正合可知

Im(f1,g1)=Ker(f2,g2)=(K,A),

其中K(a)=Kerf2∩F2(a),a∈A.记Ker(f3f2,g3g2)=(H,A),其中H(a)=Ker(f3f2)∩F2(a),a∈A.由软模序列软正合的定义,序列(4)在(F2,A2)处是正合的当且仅当Im(f1,g1)=Ker(f3f2,g3g2),即对a∈A总有

Kerf2∩F2(a)=Ker(f3f2)∩F2(a).

一方面,易见Kerf2⊆Ker(f3f2),所以

Kerf2∩F2(a)⊆Ker(f3f2)∩F2(a),a∈A.

(7)

另一方面,由式(6)可知,若有x∈F3(a)使得f3(x)=0,则必有x=0.又因为对任意的a∈A及m∈F2(a),由式(5)可知f2(m)∈f2F2(a)=F3(a).如果f3f2(m)=f3(f2(m))=0,必有f2(m)=0,从而Ker(f3f2)⊆Kerf2,进而Ker(f3f2)∩F2(a)⊆Kerf2∩F2(a).结合式(7)可得Ker(f3f2)∩F2(a)= Kerf2∩F2(a),于是Im(f1,g1)=Ker(f3f2,g3g2).因此,序列(4)在(F2,A2)处是正合的.

其次,验证序列(4)在(F4,A4)处是正合的.因为序列(3)在(F4,A4)处软正合,所以Im(f3,g3)=Ker(f4,g4).又因为由式(5)可知

Im(f2,g2)=(f2,g2)(F2,A2)=(f2F2,A2)=(F3,A3),

从而

Im(f3,g3)=(f3,g3)(F3,A3)=(f3,g3)(f2F2,A2)=(f3f2F2,A2)=Im(f3f2,g3g2).

于是

Im(f3f2,g3g2)=Im(f3,g3)=Ker(f4,g4),

所以序列(4)在(F4,A4)处软正合.

综上可知，序列(4)在每个(Fi,Ai)(i=1,2,3,4,5)处都是软正合的,所以是一个软正合列.证毕.