例谈反证法在中小学数学中的应用

刘 磊

(南京师范大学附属中学宿迁分校 江苏 宿迁 223800)

在数学教学过程中，最重要的一种证明方法就是反证法，反证法作为当前数学解决问题的解决方法，能够在一个命题无法进行证明，或者是感到非常困难时，就可以使用反证法，这种方法在中小学数学教学中应用非常广泛，那么就需要教师在教学时，让学生能够熟练掌握这种方法，这样才能够帮助学生更好的进行学习，提升学生的数学成绩。

1.反证法概念

反证法并不是独立出现的，而是间接证明法中的一种，是以反方向为证明的一种方法，也就是在肯定下提出的否定，通过对其矛盾推理，进而验证命题。再用反证法进行论证时，如果所证明的命题只有一种，那么就直接将这种命题驳回就可以，如果结论有很多反面，就需要将所有的反面全部驳倒，这样才能够证明原结论正确，这种证明方法还叫穷举法[1]。

2.反证法原理和步骤

反证法作为一种论证方法，主要是根据所需要证明问题的反面证明，来论证原命题的正确，也就是说，在正常的思维下，从问题的反面入手，将所知道的内容进行判断，然后根据逻辑学来进行严格推理，进而指导否定结论是错误，这样就可以说明原命题是正确。在中小学数学中常常用到反证法。如果遇到的数学题从正面来解答较为困难，就可以从反面进行解决。

在对其中小学数学题目解答较为困难时，我们通常会使用反证法，步骤就是：第一，先根据数学题目提出假设，然后做出和题目对立的假设；第二，在提出假设后，进行验证，从对立的命题出发，根据定义、题设等等方面进行谨慎的推理，进而来说明假设并不成立；第三，得到结论，因为推出假设不成立，就可以说明原命题是正确的。在这过程中需要注意的是，对于所提出的假设必须要是正确的，如果我们不知道如何针对原命题提出假设，那么就会使用互为否定的方法。

3.反证法在中小学数学中的优势

当我们在解决某道数学题时，如果发现论题的条件不够，那么就可以使用反证法，反证法可以从命题的反面进行入手，这样就在一定程度上给予命题多个已知条件，那么这个就是反证法的优势，能够很好的解决问题，为问题提出相应的条件。还有就是反证法在一定程度上增加了已知条件，和原来的已知条件进行连接，能够将所有信息进行汇总，有利于在这过程中找到矛盾所在[2]。

4.反证法在中小数学运用

因为中小学的数学题较多，种类丰富，所以大部分都能够运用正常的解题方法进行解决，但是依然有很多数学题使用反证法，我们就需要考虑什么时候使用反证法才是正确的。

4.1 基本定理。在中小学数学中，利用反证法能够很好的证明一些基本定理，因为这类命题本身能够知道的公式、定理较少，所以在得出结论前，所能得到的公式也就相对较少，或者是因为题设本身能够得出的结论较少，为了能够得到基本定理，就会运用反证法，例如，“过平面外一点只有平面的一条垂线”这类定理，就是中小学所运用的基本定理[3]。

4.2 存在性问题的证明。在中小学数学中，数学问题中证明存在的有很多，在这过程中因为受到公式的约束，大多数情况下也会使用反证法进行证明。例如，“在论证三角形内角中，必须要有两个锐角”时，就可以先提出假设，说出如果三角形中有两个角为直角或者是大于直角，那么这个三角形就无法与勾股定理吻合，进而说明三角形中至少有两个角是锐角。

4.3 无限性命题的证明。中小学生数学题中，还有很多论证存在无限性的问题，这个时候如果使用正常解答的话，将会非常复杂，那么我们就可以从反面进行论证。例如，证明“根号5是无理数”时，就可以通过假设，先列举公式，然后在对其进行验证，进而得出假设不成立，说明根号5是无理数。

4.4 否定和唯一性命题。如果在结论中出现否定形式的命题就是否定性命题，这类命题有一个特点就是不能够直接进行证明，运用反证法能够很好的解决这种问题。在中小学数学中，如果发现命题“唯一”，就可以使用反证法，这会简化证明过程。

5.运用反证法注意的问题

因为反证法首先就要提出否定，这就要求最终的结果必须要正确，还有就是因为反证法是通过与命题相反的假设来论证原命题正确，所以在使用反证法时可能会出现很多矛盾，这个时候就需要保证要有明确的逻辑观点，需要我们反证法所提出的论证要正确，这样在进行推理时，才能够保证结论的正确。

结语

总的来说，反证法是数学中一种重要的证明方法，同时也是一种解决逻辑，能够帮助学生提升自身的数学水平，但是在这过程中，我们需要正确认识到，反证法并不能解决所有事情，还是需要我们根据具体情况来判断，反证法根据不同学段还有着不一样的要求，比如高中就需要用数学案例来认识反证法，能够运用这些方法来证明相关问题，而初中就是要明确反例的作用，能够有效的利用反例来进行证明，小学阶段并没有明确要求，但是作为一种思维，能够出现在小学奥数中，这样就需要我们在不同学段采取相应的方法。