表面粗糙度对不对中滑动轴承润滑特性的影响*

(1.中国民航大学 天津市民用航空器适航与维修重点实验室 天津 300300；2.中国民航大学航空工程学院 天津 300300;3.天津布尔科技有限公司 天津 300380)

轴-滑动轴承摩擦副是各种机械装置使用最广泛、最普遍的支承-传动系统，轴工作中受载荷作用时会产生变形，导致轴承在轴承孔中倾斜并引起不对中，影响滑动轴承的润滑性能。轴承表面在加工的过程中会在表面形成一定的纹理，表面纹理的形成通常与切削速度、切削深度、刀具的几何形状、加工设备的振动等密切相关，表面的不同纹理对滑动轴承的润滑状态会产生很大的影响。因此，如何将轴承系统表面形貌反映到实际摩擦润滑设计中对于指导摩擦副的设计具有重要意义。

目前，国内外学者在如何将粗糙度引入摩擦副方面开展了深入研究，从最初忽略粗糙度到利用统计和实验测量方法引入粗糙度，模型从不确定到确定[1-3]。PATIR和CHENG[4]利用统计学方法将粗糙度通过流量因子的形式考虑于润滑模型中。随着计算机模拟的出现，将粗糙度通过随机生成的方法反映于油膜厚度中成为可能。通过三维形貌扫描整个摩擦副表面，再叠加形貌图片来提供粗糙度，由于形状复杂性和计算量过大成为瓶颈[4]。THOMAS于1958年证明了指数和指数-余弦形成自相关函数能够很好地描述现实世界中的许多随机现象[5]。WHITEHOUSE在1970年的试验结果显示，许多工程表面的高度分布都满足高斯分布，其表面轮廓具有指数自相关函数关系[6]。此外，WATSON和SPEEDING[7]利用转换系统模拟仿真非高斯随机表面，HU和TONDER[8]在仿真非高斯随机表面时应用了这一方法，同时将其推广到三维表面。分形曲面在自然界是大量存在的，如山脉、地形、岩石裂隙和断层表面形态等，都是分形表面的实例。

本研究作者在深入研究滑动轴承摩擦副系统润滑机制的基础上，考虑到轴受到载荷作用产生变形引起的轴颈在轴承孔中产生不对中，研究结构表面粗糙度生成方法，建立确定性模型研究不同轴瓦表面粗糙度对轴承油膜厚度影响。基于润滑确定性模型，将粗糙度表面高度与不对中油膜厚度叠加，研究高斯表面、非高斯表面、分形插值曲面对不对中轴颈-轴承润滑性能的影响，采用有限差分方法结合松弛迭代求解润滑控制方程，分析轴颈不对中和表面粗糙度耦合作用下最大油膜压力、端泄流量、承载力和轴承力矩随偏心率、转速的变化关系。

1 基本方程和公式

1.1 润滑控制方程

PATIR和CHENG[4]利用统计学引入流量因子来描述粗糙度对流动的影响，根据粗糙度对流体流动是阻碍还是便于流动，将粗糙度的影响通过流量因子的形式体现在润滑控制方程中。综合考虑结构表面粗糙度的平均形式的Reynolds方程可表示为

(1)

式中:h是油膜厚度;ρ是润滑油密度;p是油膜压力；U是沿x方向的速度;σ为两表面的粗糙度；φx、φy是压力流量因子，表示粗糙表面间的平均压力流量与光滑表面间的压力流量之比；φs为剪切流量因子；φc为接触因子。

在实际确定性模型中，应将模拟的结构表面粗糙度反映于油膜厚度中，准确分析结构表面粗糙度对轴承润滑特性的影响，润滑控制方程可表示为

(2)

式中:h是油膜厚度；p是油膜压力；U是沿x方向的速度。

1.2 轴颈在轴承中倾斜时油膜厚度表达式

图1所示为轴颈倾斜状态下示意图，其中OC2是轴颈中心的连线，C1、C2、C3是轴颈轴向与前端面、中间截面、后断面的交点。油膜厚度可表示为

(3)

式中：c是半径间隙；e是轴承中心截面偏心距；θ是从z轴正方向起的角坐标；φ是轴承与轴颈中心的连线OC2与z轴的夹角；γ是轴颈在轴承中的倾斜角；l是轴承宽度；α是OC2与C1C3之间的夹角；σrs为轴颈和轴瓦表面叠加粗糙度。

图1 轴承轴颈倾斜示意图Fig 1 Misaligned journal schematic diagram

1.3 轴承机油端泄流量

轴承前端面和后端面流出润滑油的流量分别为

(4)

(5)

轴承总端泄流量为

Q=|Q1|+|Q2|

(6)

1.4 轴承油膜力矩

倾斜轴承轴颈中央截面两侧的油膜压力不对称，油膜压力会对轴颈产生一定的力矩M。油膜力矩在x方向和y方向产生力矩分量是

(7)

(8)

总油膜力矩为

(9)

1.5 轴承油膜承载力

油膜承载力在x方向和y方向的分量为

(10)

(11)

油膜总承载力为

(12)

2 随机粗糙表面模型的建立

2.1 高斯粗糙表面模型研究

工程实际中的粗糙表面经过数字化采样后成为离散化的随机过程，输入序列η(i,j)是高斯分布，采用二维数字滤波技术就可以模拟高斯随机粗糙表面。

在目前的研究中自相关函数被定义为指数型函数，其表达式为

Rz(k,l)=σ2exp{-2.3[(k/βx)2+(l/βy)2]1/2}

(13)

式中:σ为表面均方根粗糙度;βx、βy分别为x、y方向上的自相关长度。

由自相关函数R经傅立叶变换得到功率谱密度：

exp(-jkωx)exp(-jlωy)

(14)

(15)

由于输入序列η(i,j)是独立的随机序列服从高斯分布，该序列功率谱密度为常数C。式(15)可以写成：

H(ωx,ωy)=(Sz(ωx,ωy)/C)1/2

(16)

式(16)中传递函数进行傅立叶逆变换得到滤波函数：

exp(-jkωx)exp(-jlωy)

(17)

(18)

2.2 非高斯分布粗糙度表面模型

表征非高斯随机粗糙表面其完整的统计学过程，可用平均值、标准差、偏斜度、峰度4个统计参数进行表征。为将一个符合高斯分布的随机序列转化为具有一定偏态和峰度值的非高斯序列，需要利用Johnson转换系统对高斯随机序列进行转换[9-11]。Johnson转换系统所描述的系统频率曲线包括以下3种形式：

(1)对数正态系统

η′=ξ+λ·e(η-γ)/δ,(η′>ξ)

(20)

(2)对于无界系统

(21)

(3)对于有界系统

(22)

式中:η为高斯随机序列；η′为带有给定斜度和峰度的非高斯随机序列，是由给定的高斯序列转换得到；γ、δ、ξ和λ为可用高斯分步曲线前4阶矩进行拟合计算得到的常数[12]。

研究表明，当一个随机序列通过数字滤波器时其偏斜度和峰度将会有所改变，需要对指定的偏斜度和峰度值进行修正。

设输入序列的偏斜度和峰度分别为SKη、Kη[13]，则Johnson变换系统后，其输出序列Kz、SKz与输入序列Kη、SKη有如下关系：

(23)

(24)

根据前文模拟高斯粗糙表面的类似方法，模拟具有指数形式的自相关函数：

(25)

式中：σ为表面均方根粗糙度;βx、βy分别为x、y方向上表面轮廓的自相关长度。

通过对自相关函数进行傅立叶变换，即可以得到随机粗糙表面的概率密度谱函数Sz(ωx,ωy)，表达式为

(26)

Sη(ωx,ωy)为输入序列的功率密度，式中，ωx=ejωx,ωy=ejωy,输入功率密度Sη(ωx,ωy)和输出功率密度Sz(ωx,ωy)之间的关系如下：

Sz(ωx,ωy)=|H(ωx,ωy)|2Sη(ωx,ωy)

(27)

由于输入序列η(i,j)是独立的随机离散点，所以输入序列的概率密度函数Sη(ωx,ωy)为常数。通过计算传递函数H(ωx,ωy)的傅立叶逆变换即可以得到滤波函数h(k,l)：

exp(-jkωx-jlωy)

(28)

用滤波函数对输入的非高斯随机序列进行滤波得到非高斯随机粗糙表面的高度分布函数z(i,j)，其输入输出关系表达式为

(29)

式中：I=0，1，......，N-1，J=0，1，......，M-1，n=N/2，m=M/2；h(k，l)为滤波器的冲击响应函数。

2.3 分形插值曲面模型

W-M分形函数[14-15]特点是连续性、处处不可微性以及自相似等，是表示随机轮廓的典型函数，不仅可以用来模拟二维表面轮廓，还可以进行是三维表面轮廓形貌模拟。其三维函数模型：

(30)

式中：Cn是服从均值为0，方差为1的正太分布的随机数(也称尺度系数)；An、Bn是相互独立且都服从[0,2π]上的均与分布的随机数；Ds是理论分形维数(2

W-M函数实际上是空间中不同层次不同频率的正弦/余弦曲线的叠加而成，其中一种常用的产生随机分形表面的典型函数由下式表示：

(31)

(32)

式中：C是表面的高度系数；Ds是空间分形维数且有Ds=D+1，D是截面的分形维数；φmn是一系列 0 到π之间的随机相位;γ是控制表面起伏密度的参量;M是空间起伏的数量;L为模拟图像的大小;G是调整粗糙度的一个系数。

对于一个完全分形的表面，有nmax→，在实际模拟中nmax不可能取到无穷大，取

(33)

式中：Lmax是取样长度；Lmin由仪器分辨率决定的。

3 求解过程

3.1 不对中-轴颈分析参数

为深入研究轴颈-轴瓦系统表面粗糙度模型对轴承润滑性能影响，文中基于表1所示轴承参数开展轴承性能分析。

表1 轴承主要参数

3.2 计算流程

在轴瓦表面粗糙度的确定性模型基础上，将轴瓦表面粗糙度模型数据叠加于油膜厚度中，利用线性插值方法变成256×256节点矩阵，使粗糙度模型网格与油膜厚度网格节点相互对应。图2所示为考虑表面粗糙度的轴承性能的计算流程图。

5.动词不定式复合结构做后置定语，它和动词不定式短语一样，均只能放在被修饰成分的后面，做后置定语。例如：

图2 计算流程图Fig 2 Flow chart of analysis

求解过程中为获得稳定油膜压力，采取了超松弛迭代方法，松弛因子ω=0.1。油膜压力p可以表示为

p=ωpnew+(1-ω)pold

(34)

迭代法判断油膜压力的收敛条件:

(35)

4 随机粗糙表面研究

4.1 高斯随机粗糙表面研究

图3所示为表面均方根粗糙度(σ=2×10-6m)下相关长度βx=βy=10的高斯随机粗糙表面。图4给出了在表面均方根粗糙度(σ=2×10-6m)下βx=5 000,βy=5上相关长度不等模拟的高斯随机粗糙表面，其更好地模拟了车削加工工艺形成的结构表面的纹理结构。

图3 各向同性高斯表面分布Fig 3 Isotropic Gaussian surface distribution

图4 模拟车削表面分布Fig 4 Simulated turning surface distribution

4.2 分形粗糙表面模型研究

图5所示为不同分形维数和反映轮廓幅值大小的尺寸系数(G=5.5×10-11)下的分形曲面分布。分形插值函数对粗糙表面的模拟效果，主要取决于垂直尺度因子和被插值的原始轮廓形貌与实测表面轮廓的接近程度。一般来讲，分形维数D越大，即粗糙程度越低，垂直尺寸因子值应越小。

4.3 非高斯随机粗糙表面模型研究

图6 三维非高斯随机粗糙表面Fig 6 Three-dimensional negative skew non-Gaussian random rough surface

5 含随机粗糙表面的轴承润滑特性分析

5.1 高斯车削表面对润滑特性的影响分析

图7(a)所示为自相关长度βx=5 000、βy=5、σ=2×10-6m下的高斯随机粗糙表面。

图7 含车削高斯表面的轴承润滑特性Fig 7 Bearing lubrication characteristics with turned Gaussian surface (a)simulated Gaussian turning surface;(b) oil film thickness distribution;(c)oil film pressure distribution;(d)variation of end discharge flow with RMS;(e)variation of working torque with RMS;(f)variation of bearing capacity with RMS

在实际加工过程中，一些加工工艺形成车削的纹理表面，在周向方向出现深度不同凹槽，轴向方向上起伏变化特别明显。将随机粗糙表面反映到油膜厚度中，如图7(b)所示，在不对中轴承中油膜分布出现明显起伏变化，并在周向方向上出现深浅不一的凹槽，对油膜厚度分布有较大的影响；与不含粗糙表面相比，粗糙表面导致油膜压力分布出现较大波动，压力分布出现起伏的阶梯状波动(如图7(c)中D处所示)，是由于车削表面引起油膜厚度梯度造成。图7(d)、7(e)、7(f)所示为轴颈-轴承表面为车削表面下，轴承润滑性能参数随表面均方根粗糙度σ的变化趋势。研究结果表明，图7(a)所示车削表面在σ>1 μm时将增大机油泄流量，其承载能力明显下降。

5.2 不对中轴颈-轴承油膜厚度分析

图8所示为轴颈ε=0.7、n=5 000 r/min下未考虑表面形貌和考虑高斯、非高斯、分形等表面形貌的油膜厚度分布情况。现采用高斯曲面、非高斯曲面、分形曲面模拟轴瓦粗糙表面，结果表明，轴瓦表面粗糙度使最小油膜厚度减少，油膜表面出现不同粗糙分布，但油膜厚度分布未发生明显变化。

相关长度βx=βy=10和表面均方根粗糙度σ=0.3 μm下高斯粗糙表面在相同尺寸下起伏较小，形成的油膜厚度分布较为缓和，表面均方根粗糙增大到σ=2 μm，高斯表面粗糙度幅值变大(如图8(b)所示)，对油膜厚度分布有较大影响。图8(c)中分形维数D=2.4的分形表面突起和凹陷特别明显，起伏波动较为明显，造成图8(c)中A处油膜厚度凹陷很大，对油膜压力分布也有很大的影响。峰度K=3、偏斜度SK=0.75的非高斯随机粗糙表面形成的峰值和谷值尖锐，且幅值较大，对油膜厚度分布有较明显的影响(如图8(d)中B处所示)。

图8 不同表面形貌下油膜厚度分布Fig 8 Oil film thickness distribution with different surface topography (a)oil film thickness without rough surface;(b)oil film thickness with Gauss rough surface;(c)oil film thickness with fractal rough surface;(d)oil film thickness with non-Gauss rough surface

5.3 不对中轴颈-轴承油膜压力分析

图9所示为ε=0.7、n=5 000 r/min、γ=0.025°不考虑表面形貌和3种表面形貌(高斯表面、非高斯表面、分形表面)下的油膜压力分布。在分析过程中当ε较大时，轴瓦表面形貌对油膜厚度影响较大，对最大油膜压力pmax的影响也较为明显。文中分析轴承在高速重载环境下轴颈不对中及轴瓦表面形貌对油膜特性的影响。图9(a)所示为未考虑粗糙表面下轴承油膜压力分布情况，φ=3π/2使得油膜在轴承两端部出现较大压力，pmax=29.95 MPa。图9(b)所示为轴瓦表面为高斯随机粗糙表面的压力分布情况，pmax=42.55 MPa。图9(c)所示为轴承轴瓦为分形粗糙表面的压力分布情况，pmax=33.01 MPa，图9(d)所示为轴承内轴瓦表面为非高斯随机粗糙表面的压力分布情况，pmax=30.35 MPa。研究结果表明，考虑表面形貌时油膜压力的分布位置并未出现明显改变，当轴颈的偏心率较大时，含3种粗糙表面的油膜压力变大，其中，轴瓦含高斯随机粗糙表面的油膜压力有明显的增加。轴瓦模拟非高斯随机粗糙表面产生的油膜压力分布明显凹凸不平(如图9(d)中的 C处)。

图9 不同表面形貌下油膜压力分布Fig 9 Oil film pressure distribution with different surface topography (a)oil film pressure without rough surface;(b)oil film pressure with Gauss rough surface;(c)oil film pressure with fractal rough surface;(d)oil film pressure with non-Gauss rough surface

5.4 不对中轴颈-轴承润滑特性研究分析

图10所示为偏心率ε=0.7时轴承-轴颈最大油膜压力pmax、最小油膜厚度hmin、端泄流量Q、稳定工作力矩M、承载力F随转速n的变化关系。其中，包括统计学模型(其表面均方根粗糙度为1 μm)和确定性模型(含高斯粗糙表面、非高斯粗糙表面、分形表面)以及无粗糙表面等5种随机粗糙模型。研究结果表明，随着转速增加，pmax、Q、M、F都呈增加的趋势，低转速时，各种工况下轴承性能各个参数相差不大。随着转速增加，含高斯粗糙表面的轴承性能各参数相对于无粗糙表面均有明显增加，分形表面和非高斯表面则没有较大变化。考虑确定性模型计算轴承各参数(最大油膜压力pmax、端泄流量Q、工作力矩M、承载力F)均大于统计学模型。

图11所示为n=5 000 r/min,φ=π/2,α=π/2,c=0.03 mm,μ=0.009时，统计学模型和确定性模型(含高斯粗糙表面、非高斯粗糙表面、分形表面)以及无粗糙表面的轴承润滑性能。轴承最大油膜压力pmax、端泄流量Q、工作力矩M、承载力F随偏心率ε的变化关系。研究结果表明，低偏心率时，轴承各工况下润滑性能参数相差不大，随着偏心率增加到一定数值(ε=0.7)后，轴承润滑性能各参数均有明显的增加。其中，含高斯粗糙表面轴承最大油膜压力pmax、工作力矩M、承载力F均有明显的增加，含分形曲面和非高斯曲面轴瓦相对于无粗糙表面则增加幅度不大。含分形曲面和非高斯曲面轴承工作力矩M、承载力F相对于无粗糙表面则没有明显变化。就端泄流量而言，含各粗糙表面轴承的端面流量相差不大。采用确定性模型计算轴承润滑特性各参数(最大油膜压力pmax、端泄流量Q、工作力矩M、承载力F)均小于统计学模型。

图10 5种粗糙表面条件下轴承参数随转速的变化Fig 10 Variation of bearing parameters with rotation speed under five rough surface conditions(a)variation of oil film pressure with rotation speed;(b)variation of end discharge flow with rotation speed;(c) variation of working torque with rotation speed;(d)variation of bearing capacity with rotation speed

图11 5种粗糙表面条件下轴承参数随偏心率的变化Fig 11 Variation of bearing parameters with eccentricity under five rough surface conditions (a)variation of end discharge flow with eccentricity;(b)variation of maximum oil film pressure with eccentricity;(c) variation of working torque with eccentricity;(d)variation of bearing capacity with eccentricity

6 结论

(1)随着高斯粗糙表面由σ=0.3 μm增加到σ=2 μm，粗糙表面高度分布变大；当βx=βy=10时各项同性高斯粗糙表面波峰、波谷分布变密，x、y方向上相关性增强，波峰和波谷尖锐、较深，油膜厚度分布出现起伏波动，且在油膜压力峰值处出现较为明显的阶梯状波动。对于分形粗糙曲面，随着分形维数增加，分形曲面随机粗糙程度逐渐降低，且表面粗糙高度减小；非高斯随机曲面在高斯曲面基础上出现偏斜，表面形成的峰值和谷值尖锐、较深，对油膜厚度分布有较为明显的影响；与确定性模型相比，传统流量因子模型在润滑特性估计时会偏低，油膜压力分布比较光滑，无法捕捉到油膜细节。

(2)轴颈在轴承孔中倾斜时，对轴承最大油膜压力、最小油膜厚度有明显的影响，将表面形貌(高斯曲面、分形曲面、非高斯曲面)耦合到滑动轴承油膜厚度中，轴承最大油膜压力位置(θ=3π/2)均没有明显变化，但最大油膜压力pmax分布位置出现明显变化，其中，含非高斯表面的油膜压力分布出现锯齿形分布。

(3)未考虑表面形貌的轴承在不同偏心率、转速下均低估pmax、Q、M和F；当转速、偏心率低时，轴瓦表面形貌对轴承性能的影响不大，随着偏心率、转速增加到一定数值后(ε=0.7、n=5 000 r/min)，pmax、M、F明显大于无粗糙表面，但端泄流量Q变化不明显，其中含高斯随机表面对轴承性能影响较明显。