浅谈极限思想在小学数学教学中的渗透

2019-11-27黄俊佳羽

名师在线 2019年2期

关键词：铅笔次数硬币

黄俊佳羽

（江苏省南通市十里坊小学，江苏南通 226000）

引言

极限思想是微积分的基本思想。小学数学教材中的“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”这三个方面都涉及极限思想[1]，因此本文重点从这三个方面探讨如何在小学数学教学中渗透极限思想。

一、在“数与代数”方面渗透极限思想

（一）认识数的无限性：自然数

小学生最先接触到“无限”这一概念是从数字开始的。从小学一年级开始，学生首先学习的是20 以内的自然数。虽不能让学生立即体会到自然数的个数是无限的，但教师可以帮助学生认识到20 以内的数中，后一个数总比前一个数大1。学生陆续通过学习百以内的数、万以内的数乃至亿以内的数，会认识到最小的自然数是0，同时又产生“有最小的自然数，那么有最大的自然数吗？”的疑问。针对这样的疑问，笔者会把思考讨论的机会留给学生，让学生说出他们心目中“最大的”自然数，再引导学生思考：你能说出比它还要大的自然数吗？通过多次的举例与反驳答案，学生很快能够意识到自然数是无穷无尽的。无论列举出多么大的自然数，都有后面的自然数比它大1，即N ＋1＞N，使学生通过自主探索感受自然数的无限性。

（二）认识数的无限性：循环小数化分数

如果说上面的教学是认识及表示数量的“无限”，那么无限循环小数化成分数的过程无疑也映射出“极限”的思想。小学生难以理解0.999…竟和1 相等。大多数人认为，0.999…无论小数点后有多少个9，它总是比1 小一些。怎么能让学生理解并接受0.999…＝1 呢？基于小学生的年龄特点，笔者设计了以下三个教学环节。

首先，可以采用数形结合的方式，让学生产生直观的了解。

其次，用两道除法算式体现极限思想。

师：1÷9， 8÷9，算一算它们的商。

生：1÷9 ＝0.111…，8÷9 ＝0.888…

师：我们把这两个算式的左右两边相加，可以得到1÷9+8÷9 ＝0.111…＋0.888…，你能将它化简吗？

最后，还可以通过关系式求未知数，对结论进行“证明”。

师：设x=0.999…，则10x=9.99…，10x-x=9.99…-0.999…，即9x=9，x=1，x既是0.999…，又等于1，我们可以得到什么结论？

生：0.999…＝1。

通过上述三个环节的教学，不仅使学生难以理解的问题迎刃而解，同时也让学生体会到无限与有限的区别，产生从有限到无限的思维过渡，渗透了极限的思想方法。

二、在“图形与几何”方面渗透极限思想

（一）线段的无限延伸性

在图形与几何中，极限思想的渗透显得尤为重要。线段中直线、射线、平行线等概念都离不开“无限延伸”这四个字，这些概念具有一定的抽象性。因此，教师在教学时可以先让学生通过动手画一画直线、射线，让他们体会这些线是可以一直延伸下去的，然后再引导学生去想象这条线到底可以画多长，在头脑中形成无限延伸的画面。这样既能帮助学生从本质上理解“直线”“射线”和“平行线”的概念，还能发展学生的空间观念，培养他们的空间想象力。

（二）在图形的度量中体会无限性

用不同的长度单位度量实际物体或者图形的长度时，也能渗透极限思想。例如，在二年级下册《认识分米和毫米》这节课中，笔者设计了以厘米为单位，动手量铅笔长度的操作活动，使学生发现铅笔的长度并不是整厘米数，产生了认识新的长度单位“毫米”的需求。同样，在学生认识毫米并重新量出铅笔长度时，可以继续追问学生：“铅笔的长度就是整毫米数吗？”为了便于学生观察，可以借助于多媒体课件放大刻度尺，然后用毫米刻度一次次去测量铅笔，让学生发现铅笔的长度也不是整毫米数。此时，笔者引导学生思考：“余下的不足1 毫米的部分，我们该怎么测量呢？”“这样的过程有没有可能继续下去？”通过这一过程，学生能够想象将刻度尺无限划分下去，这样学生就在不知不觉中体会到度量中的无限性，从而渗透了极限思想。

（三）推导圆的面积公式

圆是由曲线围成的封闭图形，无法像长方形和正方形那样利用摆小正方形的方法推导出面积公式，教学难度较大。笔者在学生已经初步认识了“由正多边形不断变化可以变成圆”这一观念的基础上，进一步运用分割拼接法，通过多媒体动画演示，使学生直观地感受“化圆为方”的思想，领会从近似分割到无限细分的数学思维方法，经历从“有限”转化成“无限”的过程，最终达到极限状态。这样不仅使学生亲历了推导圆面积公式的过程，也培养了学生的转化思维能力，更渗透了极限思想，让学生认识到极限思想不可替代的重要作用。

三、在“统计与概率”方面渗透极限思想

如何把频率近似看作概率，然后判断游戏的公平性，这也运用到了极限思想。我们可以用简单的“抛硬币”问题举例。这里笔者采用小组合作模式，让学生动手先抛1 次硬币，发现可能出现正面，也有可能出现反面。接着，让学生实验抛10 次硬币，并记录每次的结果，再通过汇总结果分析正反面出现的频率。由于频率不具有稳定性，可能会出现一面出现的次数远远大于另一面出现的次数的情况，或者10 次抛硬币都只出现了一面的现象。单纯观察抛硬币的实验结果，学生容易认为游戏是不公平的，所以教师要继续引导学生进行推测如果抛20 次、30 次呢？如果抛更多的次数呢？学生通过亲手实验后逐渐分析并大胆猜想出：抛的次数越多，正反面分别出现的频率都在某一可能性上上下波动，借用数学家先前的实验数据观察可以证实猜想。教师可以追问：当我们抛出硬币的次数无限多时，你能得到什么结论？学生就能得出正反面出现的频率就是固定的某一可能性值（事件发生的概率），从而解答出这个游戏是公平的，与抛硬币的次数没有关系。这里通过极限思想的渗透与应用，不仅将频率与概率的性质区分开来，还让学生学会利用这一思想判断游戏的公平性。