平面向量复习之我见

刘国华

摘 要：平面向量在高职数学中占有很重要的地位，是各类考试的重要考点，是数形结合的典型。平面向量的坐标概念多，公式多，运用时比较灵活，所以这一章节学生往往会感觉杂乱无章，不知所措，笔者教学生复习向量这一章时会提纲携领，浓缩概括典型例题，训练学生举一反三，熟能生巧，提升显著。

关键词：平面向量;平面向量的坐标;向量的数量积;向量的平行与于垂直

一、平面向量知识结构

1.平面向量的基本概念

①几何表示;②符号表示;③坐标表示

2.平面向量的运算：①加法②减法③数乘④数量积

3.平面向量的应用

二、考点要求

1.理解向量是既有大小又有方向的量，可借助有向线段来表示。向量的大小叫做向量的模记做，知道特殊的零向量，单位向量，相等向量和共线向量等。

2.掌握向量加法，减法和数乘向量的意义和方法。

3.了解平面向量的基本定理及坐标表示，并会用坐标进行平面向量的加法，减法，数乘运算。

4.理解平面向量的数量积的含义及几何意义;掌握数量积的坐标表示，会用两种不同的方法进行数量积的运算;会用数量积表示两个向量夹角的余弦;会用数量积判断两个向量的垂直关系。

三、方法点拨，学习本章应善于用类比的思想方法

1.要分清向量和有向线段的区别：向量有起点，方向和长度;有向线段有方向和长度。

2.要分清向量平行和直线平行的区别：前者包括两向量在同一条直线上（同向或反向），后者不包括重合情形。

3.相等向量和共线向量的区别：向量相等一定共线，但共线未必相等。

4.平行向量不能传递，因为零向量与任意向量平行。

5.向量的运算法则及运算率与实数的运算法则及运算率进行横向类比。例如：和实数的乘法类似，向量的数量积也满足交换率和分配率，但不满足结合率，也不能在向量等式的两边同时除以一个向量;数量积的运算要注意a=0时，a·b=0，但a·b=0时不能得得到a=0或b=0，因为a⊥b时，也有a·b=0。

6.将平面向量与物理学功进行类比，如向量加法的平行四边形与物理学的共点力的合成类比学习就容易理解7向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的向量的坐标与点A的坐标相同。

四、向量中的常用结论

1.向量加法的三角形法则和平行四边形法则及向量的减法法则经常要在做题时灵活使用。

2.若非零向量a=，则两者平行

3.若M是△ABC中BC邊中点，则

4.在△ABC中，①若A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）C（x₃，y₃），则其重心G

②特别地，是△ABC的重心

③△ABC的垂心

5.关于A，B，C三点有如下结论：①‖A，B，C三点共线②⊥③

6.两个非零向量a，b则ab=;;若a=（x₁，y₁），b=（x₂，y₂），则ab=及该夹角余弦值等于两者数量积与模乘积的商.

7.非零向量a平行ba=b

8.非零向量a⊥bab=0

9.两个非零向量a，b，夹角为.则当为锐角时，ab>0且a与b不同向;则当为钝角时，ab<0且a与b不反向;0b=0

五、平面向量中涉及的数学思想方法

（1）函数法（2）待定系数法（3）基本向量法-就是选几个向量表示其余向量（4）坐标法，把向量问题转化为代数问题解决，实现几何，向量和代数问题的互相转化（5）几何法，根据问题的特殊性构造相关的几何图形，利用图形的直观性来解决问题.实做题时要具体问题具体分析，采用自己熟悉的方法解决问题。

以上是笔者课堂教学的点滴感悟，认真训练可使学生提纲携领，以点带面，举一反三，灵活运用。多年的教学经验证明这样复习向量效率高，效果好，希望能给同仁们带来点滴帮助。

参考文献

[1] 陈九香.例说平面向量的坐标表示[J].教育现代化，2019，6（28）：247-248.