小学数学核心素养要素与内涵研究——基于美英等五国数学课程目标比较

（北京联合大学 师范学院，北京 100101）

1 问题提出

中华人民共和国成立后，小学数学教育开始恢复、调整、巩固.特别是1978年后，中国的数学教育进入“面向现代化，面向世界，面向未来”的时代.1985年5月，第一次全国教育工作会议颁布的文件中明确提出素质一词，从此中国开启了素质教育的时代.1986年开始推行九年制义务教育，在1988年颁布的《九年制义务教育全日制小学数学教学大纲（初审稿）》中首次将数学的基础知识和基本技能与文化素养联系起来，之后在1992年颁布的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）》中，明确提出数学素养，并指出使学生通过数学教育获得一定的数学素养的教育目标.此后，在国家政策文件的支持下，素质教育得到全面推进，在进入21世纪后达到了阶段性的高峰，并在持续推出的数学课程标准中不断得到明确和深化.

进入21世纪后，知识经济、信息化、全球化的到来，对劳动力市场提出了新的要求，它是各学科在学习过程中逐步形成的适应个人终生发展和社会发展需要的跨界的必备品格和关键能力，即21世纪学生发展的核心素养.现阶段在学生核心素养框架的引领下，确立各学科核心素养，使学生通过各阶段的学习，实现学科核心素养的育人目标，帮助学生顺利迎接未来社会的挑战和竞争.

经济合作与发展组织（Organization for Economic Co-operation and Development，以下简称OECD）从1997年开始实施大规模的跨国核心素养研究项目（Definition and Selection of Competencies:Theoretical and Conceptual Foundations，以下简称DeSeCo）.从此，全球在核心素养导向下不断推进在数学教育领域的研究.比如：国际学生评价项目（Program for International Student Assessment，以下简称PISA）对数学素养进行了更具体的界定，同时完善了评估方案；日本、中国台湾地区等启动了以核心素养为基本框架的课程改革，并分别于2017年3月[1]和2018年6月[2]公布数学领域课程实施方案，从制度上实现了以“核心素养”作为课程发展主轴，对各教育阶段、各科目进行纵向的连贯统整.自2015年以来，中国学者对数学核心素养要素与内涵的研究呈迅速上升趋势，取得了不少有意义的成果.比如：从宏观角度论述数学核心素养内涵的研究[3-7]；针对高中阶段数学核心素养内涵与体系建构的研究[8-14]；针对初中学生数学核心素养解析和调查的研究[15-21]；而小学阶段的研究相对较少[22-26].反观当前小学数学核心素养要素和内涵的研究，多为依据不同来源建构小学数学核心素养.一是源自中国《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）：马云鹏（2015）提出可将《标准》中数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识等10个核心能力和观念视为小学数学核心素养[22]；周淑红、王玉文（2017）的研究进一步结合小学生的特质，从《标准》中的10个“核心词”中选取最有针对性和代表性的概念：应用意识、运算能力、推理能力、几何直观作为小学数学的核心素养[23]；二是源自PISA提出的数学素养：李星云（2016）对PISA（2012）提出的八大能力进行梳理并补充，形成了小学生所需的数学交流、数学推理、运算能力、空间观念、数据分析能力和数学建模等6个数学核心素养[24]；三是源自学者多年实践经验提炼而成：曹培英（2017）经长期的实践性研究，提出了小学数学学科核心素养体系的一个初步框架，该框架由两个层面（数学思想方法、数学内容领域）、6项素养（抽象、推理、模型、运算能力、空间观念、数据分析观念）构成[26].此外，关于小学生数学核心素养培养的相关研究，聚焦在关键能力的培养策略上.庄惠芬（2015）和张俊珍（2017）的研究指出小学数学学科关键能力是培养儿童核心素养的核心，并从课堂教学视角提出了提升数学关键能力的培养策略[27-28].

综观上述小学阶段研究可以发现：首先，目前尚未有研究关注美、英等国家现行小学阶段数学课程标准中课程目标的比较.培养小学生数学核心素养作为一个国际共识，要关照到“小学数学核心素养”在不同国家或地区的理解，而数学课程目标是学生形成和发展数学核心素养的有效载体，所以要对不同国家的数学课程目标进行比较，以期对其要素和内涵达到一个共同的看法.其次，过多关注关键能力方面素养的培养，忽视中国核心素养总框架的设计理念，导致对学科核心素养构成种类在认识上的偏颇.学科核心素养是具有学科特征的关键能力和必备品格的综合体，要实现小学生数学核心素养的生成，势必要打破对现有的学科核心素养组成要素在种类格局上的认识，才能构建更加全面、多个教育阶段相互衔接、贯通发展的学科核心素养框架.

基于上述现状，以小学阶段的数学课程目标为研究对象，研究者对现行的美、英等5国小学数学课程目标及其内涵进行梳理，通过专家意见调查与专家访谈来初步构建小学数学核心素养组成要素及定义内涵，以作为建构各要素指标体系的理论基础；也可作为教师调整教学方式、研究者设计评量的参考.具体的研究问题为：现行的美、英等5国小学阶段数学课程目标具有何种特色？小学数学核心素养的组成要素及定义、类型为何？

2 美英等5国小学阶段数学课程目标特色

在数学教育领域，由于设计初衷、教育理念和服务对象等文化背景的差异，各国实施的小学数学课程文件中制定的数学课程目标名称的表述不同1研究之后陆续出现各国在小学阶段实施的数学课程框架名称，比如数学素养(英国、澳大利亚)，课程标准（美国），素质、能力目标（日本），数学大纲框架（新加坡），考虑到研究的统一性，这里统一用“数学课程目标”替代.，但总的来说，培养学生的数学核心素养是国际数学教育积极推进的共识趋势.以下将根据特色介绍几个小学阶段数学课程目标的案例.

2.1 建构21世纪未来社会需要的关键能力——以英国《小学阶段语文与数学框架》和《国家课程方案》之数学课程目标为例

英国是最早提出数学素养的国家.1959年，英国发表了题为“15～18岁青少年的教育”的《克劳瑟报告》（Crowther Report），提出了Numeracy一词，表示数学素养.之后，卡克罗夫特（Cockroft）博士于1982年在《卡克罗夫特报告》（Mathematics Counts）中诠释了数学素养的定义，即是一种能够让成人自信地应对在生活中遇到的数学问题（mathematical demands）的能力[29].从此，英国在关键能力的导向下不断推进数学素养的研究.

英国小学阶段的数学教育，是在《小学阶段语文与数学框架》(Primary National Strategy:Primary Framework for Literacy and Mathematics)和《国家课程方案——关键阶段1-2》（The National Curriculum in England:Key Stages 1 and 2）2在英国的国家课程结构中，Key stage 1是指年龄在5～7岁，年级在一二年级的小学生，Key stage 2是指年龄在 7～11岁，年级在三～六年级的小学生.的相互助力下不断推进的.英国于1996年推出《语文和数学素养策略的国家级战略》（National Literacy and Numeracy Strategies），得益于该项计划，英国教育与技术部于1999年制定了《小学阶段语文与数学框架》，修订后的框架于2006年9月再次颁布，皆在促使儿童向早期学习目标和关键阶段1-2的国家课程水平要求迈进.数学框架制定的课程目标主要包括7个部分，分别为：使用和应用数学（交流、推理、探究和问题解决）、计算和理解数字（包括心算和笔算的方法、有信心地进行计算、有效使用计算器等）、理解和使用数字事实（knowing and using number facts）、计算、理解形状、测量、处理数据等[30].

2013年9月，最新公布的《国家课程方案——关键阶段1-2》中指出，发展学生自信地应对在生活中遇到的数学问题的能力（数学素养）和其它数学技能是落实国家课程的先决条件，并提出数学课程的目标：熟练地掌握数学基础知识与基本技能、数学推理能力、将数学知识应用于常规和非常规问题的能力.并按照自然数、测量、几何、数据统计、比和比例（六年级）、代数（六年级）领域的内容分别进行阐述.有关英国国家课程方案对于小学阶段数学课程目标的内涵整理如表1.

表1 英国国家课程方案之小学阶段数学课程目标（2013）

2.2 满足现实和未来生活需要的综合能力——以美国CCSSM之数学课程目标为例

美国的全美数学教师理事会（National Council of Teachers of Mathematics，简称NCTM）是关注美国中小学数学教育最早的机构，也是促进美国数学教育变革和发展最有影响力的机构.从20世纪80年代开始，该机构就开始致力于推进美国数学课程的“标准”化运动，其中针对中小学数学教育最有影响力的“标准”运动当属《学校数学课程和评价标准》（1989）和《学校数学教育的原则与标准》（2000）的推出.早在《学校数学课程和评价标准》中，就已提出5个反映新时代变革的数学教育改革新方向，从此确立了数学教育的目标皆为帮助学生培养应对现实和未来生活所需的综合能力[31]，并作为后续各州开发和制定中小学数学课程标准的依据.

2010年6月，全美州长协会和首席州立学校官员理事会等共同推出美国州际核心数学课程标准（Common Core State Standards for Mathematics，简称CCSSM），涉及内容标准和过程标准两部分，内容标准包含美国K-5年级学生在运算和代数思想、十进制数及其运算、分数和运算、度量和数据、几何等5大学习领域所要掌握的基本知识和技能要求，过程标准描述了学生能力发展的要求.有关美国州际核心数学课程标准对于小学阶段数学课程目标的内涵整理如表2.

表2 美国州际核心数学课程标准之小学阶段课程目标（2010）

2.3 重视“家庭”“工作”“社区”和“公民生活”的日常要求——以澳大利亚NAPLAN之数学课程目标为例

从1996年初开始，数学素养的培养在澳大利亚已经站到了国家战略的高度，推动了数学素养的相关研究.具有里程碑意义的研讨会当属1997年5月18—21日，在澳大利亚西海岸城市弗里曼特尔召开的数学素养教育策略发展研讨会（Numeracy Education Strategy Development Conference），该会议丰富了对数学素养全方位的理解，并厘清了数学素养的内涵.会议提出：“具备数学素养就是能有效地运用数学来满足家庭生活、有偿工作、参与社区和公民生活的日常要求.”[32]

为了培养学生的数学素养，澳大利亚课程、评估和报告管理局从整数的估计与计算，识别和使用模型和关系，会使用分数、小数、百分数、比和比例，使用空间推理，解释统计信息，使用测量等6大领域[33]来规划小学数学课程，并指出：数学素养是学生在各种情况下使用数学的知识、技能、行为和倾向的综合体，它涉及学生对数学在世界中地位的认可和理解，并有目的地使用数学知识和技能的倾向和能力[34].2008年，国家语文和数学素养测试项目（The National Assessment Program——Literacy and Numeracy，简称NAPLAN）开始实施，该项目以上述数学课程为参考，考评小学生的数学知识、技能及其理解程度.具体包括：基于数与代数、测量与几何、统计与可能性3大内容领域的理解，流畅地运用，问题解决和推理4大部分[35].

2.4 指向21世纪的生存能力——以日本小学校学习指导要领算数编之课程目标为例

日本是在21世纪能力型框架下来引领课程改革的.随着信息化和全球化的加速进展，在2013年推出的“21世纪生存能力”的框架下，日本文部科学省于2017年3月，在《小学校学习指导要领解说——总则编》中明确指出在各学科的助力下，努力培养儿童①学会知识与技能，②培养思考力、判断力、表现力等，③培养学习的意愿、人性等的知、德、体平衡的“生存的能力”，被称为素质、能力的三大支柱[36].

日本最早的《小学校学习指导要领——算数编》始于1948年，至今先后经历了9次修订，现行版本于2017年3月31日公布，2018年4月1日陆续开始实施，2021年4月1日达到全面实施[1].该要领以素质、能力的3大支柱为框架，与小学各学年的学习内容进行对接.有关日本小学校学习指导要领对于小学阶段数学课程目标的内涵——以一年级为例，整理如表3.

2.5 突显应用数学去解决问题的能力——以新加坡数学大纲之课程目标为例

新加坡小学数学教学大纲中课程框架以培养学生应用数学去解决问题的能力为核心，涉及小学生通过数学课程的学习所必需掌握的知识和技能及非智力因素，这些因素是学生面对未来的学习和工作所必需具备的21世纪技能.该大纲于2013年开始从一年级逐步实施，直至2018年实现了小学一到六年级的全面实施.有关新加坡小学数学教学大纲课程目标的内涵整理如表4.

3 小学数学课程目标之比较

3.1 组成要素之比较

将上述各具特色的小学数学课程目标的组成要素整理如表5，从英国《小学阶段数学框架》来看，基础知识和基本技能的掌握、应用这些知识和技能来发展关键能力、对数学的态度3个向度是所有框架共同存在的.区别在于英国强调应用数学发展推理和问题解决的能力，美国还强调数学建模和表达交流的能力.换言之，不同国家虽然对小学阶段数学课程目标之强调重点略有差异，但其组成要素种类相似.

表3 日本小学校学习指导要领——算数编之课程目标——以一年级为例（2017）

表4 新加坡小学数学教学大纲之课程目标（2012）

表5 各国小学阶段数学课程目标组成要素之整理

为能更进一步掌握各国小学阶段数学课程目标中组成要素，特别是应用数学部分，将上述各国框架中之组成要素进行了整合，整理出如表5中组成要素之次数分析栏.由表可知，在5个国家提出的6个框架中，所有框架都认为基础知识和基本技能的学习、应用数学中的推理能力、表达交流、问题解决、以及数学态度是小学数学课程目标中不可或缺的组成要素；亦有一半以上的国家认为建模是小学数学课程目标中一项重要的组成要素.结合专家意见调查与专家访谈，最终确定7项主要组成要素，分别为基础的数学知识、基本的数学技能、推理能力、表达交流、模型思想、问题解决和数学态度.

3.2 小学数学培养目标与数学素养关系分析

数学素养是建构数学核心素养的重要来源之一.OECD开发的PISA是全球影响力较大的数学素养测评项目.该项目将数学素养定义为个体在各种情况下形成、使用、诠释数学的能力，这种能力包括数学推理的能力和使用数学的概念、过程、事实和工具来描述、解释、预测现象的能力；这种能力能够加深人们对数学在生活中扮演角色的认识，也是人们成为善于创新、合作和反思的公民并做出正确判断和决定的基础[37].PISA项目负责人德兰格（Jan de Lange）认为，数学素养对学生的未来发展有着重要的影响，除了数学知识和数学技能以外，学生对数学的情感态度，以及使用数学的自信心也十分重要[38].也就是说，在数学素养分类观的视角下，数学素养是知识与技能、关键能力和情感态度的汇集体.通过比较上述国家制定的小学数学课程目标发现，小学生数学课程体系的选取呈现国际化的趋势：面向未来，培养21世纪型能力为主轴，关照到基础知识和基本技能的掌握、应用数学从事社会生活所需要的基本能力和数学态度3个向度.因此，提出上述国家制定的小学数学课程目标既为数学素养各成分的具体体现.

根据Cooper（1999）的素养分类理论：将素养分为两类或者两个层次，一类是基本素养（basic literacy），或者称为普通素养（conventional literacy），这类素养是关于读写最初步的层次，包括读写和辨识符号的基本能力；第二类素养则是功能素养（functional literacy），是指个人为经营家庭、社会生活和从事经济活动所需要的基本能力[39].依据上述析出的小学数学素养之组成要素，结合Cooper所提出的素养分类理论，研究者认为学会基础的数学知识和基本的数学技能的能力属于基本素养；推理能力、模型思想、表达交流、问题解决的能力属于功能素养；在此基础上，研究者提出第三类素养：情意素养（affective literacy），它包括对数学的认知、情感和意志，具体表现为学生在学习数学的过程中能理解和认同数学的价值；对数学感兴趣，能意识到对数学的喜好和乐趣、欣赏数学的美和力量、自信地使用数学；并能够坚韧、顽强地解决问题的素养，既小学生的数学态度（mathematical attitudes）.

根据上述3类素养在数学学习过程中的价值定位，研究建立3者关系模型如图1.

由图1可知，基本素养处于模型的最底端，为基础、前提之意，既熟练掌握基础知识和基本技能的能力，具体指学习者能够理解小学数学的核心概念3根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》整理：数与代数：数的认识（整数、分数、小数）、数的运算（计算与估算）、常见的量（货币单位、时间、质量和估测）、式与方程（字母表示数、等量关系）、比与比例（正比例、反比例）、探索规律；图形与几何：图形的认识（立体图形、平面图形、角）、图形的测量（长度、周长、角、面积、体积的测量、计算及估测）、图形的运动（平移、旋转、轴对称）、图形与位置；统计与概率：简单数据统计的过程（分类、收集、整理、描述和分析数据、平均数、随机现象发生的可能性）.，能快速地回忆知识、建立知识之间的连接，应用知识来解决问题的素养；以及学习者能熟练地通过数据处理、测量、运算、估算、操作性工具使用、空间想象、探究（画图、猜测等）、思维能力（分类、比较等）等技能来辅助知识的应用以解决问题的素养.功能素养是以学科知识当作学习载体，通过探究过程发展起来的个体应对全球化加剧和科技高度发达的社会所需要的基本能力.因此，这类素养是以个体具备基本素养为前提，是学科核心素养的核心组成要素.情意素养不仅是支撑个体获得基本素养、发展功能素养的动力支持，更在基本素养和功能素养生成过程中得到重构和优化，是促进个体下一阶段学习的不可或缺的因素.

图1 小学阶段数学素养类型关系模型

3.3 小学数学核心素养组成要素的建立

DeSeCo项目将核心素养界定为：“个人实现自我、终身发展、融入主流社会和充分就业所必需的知识、技能及态度的集合，它们是可迁移的，并且发挥着多样化的功能；在义务教育结束时学习者应该具备这些基本的关键素养，并且在后续的终身学习中继续发挥其基础性作用.”[40]综合“知识、技能及态度的集合”“义务教育”“应该具备”“关键素养”等关键词，从中国国情来看，小学阶段属于义务教育阶段的重要起始期，且占据了义务教育三分之二的时间跨度，因此遴选关键素养，确定核心素养构成种类，构建小学阶段数学核心素养构架不可忽视.

党的十八大报告提出将“立德树人”作为教育的根本任务后，教育部从2013年开始进行“我国基础教育与高等教育阶段学生核心素养总体框架研究”项目，项目综合了世界各个国家和地区及国际组织对核心素养概念内涵的界定，考虑了不同学科角度对核心素养的研究，以及中国的现实需求和教育实际，将核心素养界定为：“学生在接受相应学段的教育过程中，逐渐形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力.”[40]也就是说，核心素养是关键能力和必备品格的集合，学科核心素养就是具有学科特征的关键能力和必备品格的综合体.

在学生核心素养框架的引领下，确立各学科的学科核心素养，明确各学科的学科核心素养名称、内涵与表现水平，才能为进一步落实学生发展核心素养加油助力.2018年年初，中国发布了《普通高中数学课程标准（2017年版）》，确定高中阶段数学核心素养的组成要素及内涵，具体包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等6要素[41].针对义务教育阶段的学生而言，如果忽视了学生对数学的认知、情感和意志的培养，只强调与数学学科本质相关的关键能力，必定违背了小学生认知发展规律，从而无法实现课程目标的达成.

结合国际视角和中国对核心素养的界定，以及义务教育阶段数学课程的性质和学生发展特点，考虑不同素养类型的关系，研究者提出小学数学核心素养涉及数学素养中关系个人发展和促进社会进步的关键能力和必备品格，既培养学生的功能素养和情意素养.因此，现阶段功能素养具体指向推理能力、模型思想、表达交流、问题解决4个要素，情意素养指向数学态度，内涵数学认知、数学情感和数学意志.

4 结论与建议

4.1 小学数学核心素养的组成要素及内涵

近几年，小学数学核心素养的研究成为基础教育阶段重要的教育研究议题.各国相继出台政府文件并制定课程目标促进基础教育课程改革，落实学生核心素养的培养与发展.在集合各具特色的美国、英国、澳大利亚、日本、新加坡等国家小学数学课程目标的基础上，通过专家意见调查与专家访谈，整合提炼出5项小学阶段数学学科核心素养的组成要素，初步构建了各要素的内涵定义，分别说明如下.

（1）【推理能力】学习者能在情境中辨认量与量之间的关系，能正确进行推论，且能解释推论，并倾听他人论证的素养.

（2）【模型思想】学习者能从情境出发，识别问题情境中的变量及关系，并建立模型、解释模型、反思和改进模型的素养.

（3）【表达交流】学习者能在情境中，通过日常语言与数字及算术符号之间的转换进行准确、适切的表达，且关注表达方式多样化，并在交流中尊重不同观点的素养.

（4）【问题解决】学习者能在情境中发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，能解释并检验结果，且在过程中关注方法多样化及倾听理解他人分析的素养.

（5）【数学态度】学习者能在学习数学的过程中理解和认同数学的价值，对数学感兴趣，能意识到对数学的喜好和乐趣、欣赏数学的美和力量、自信地使用数学，并能够坚韧、顽强地解决问题的素养.

4.2 小学数学核心素养的类型

数学核心素养是学生通过学科学习而逐渐形成的正确价值观念、必备品格和关键能力.小学数学学科核心素养涉及功能素养和情意素养两大范畴，具体划分为：功能素养包括推理能力、模型思想、表达交流、问题解决；情意素养包括数学态度，内涵数学认知、数学情感和数学意志.

4.3 后续研究建议

首先，从2014年开始，教育部颁布《关于实施卓越教师培养计划的意见（教师〔2014〕5号）》（以下简称《意见》），《意见》明确指出：针对小学教育的实际需求，重点探索小学全科教师培养模式，培养一批热爱小学教育事业、知识广博、能力全面，能够胜任小学多学科教育教学需要的卓越小学教师.2018年9月，教育部进一步颁布《教育部关于实施卓越教师培养计划2.0的意见（教师〔2018〕13号）》（以下简称《意见2.0》），《意见2.0》针对卓越小学教师的培养提出：“面向培养素养全面、专长发展的卓越小学教师，重点探索借鉴国际小学全科教师培养经验、继承中国养成教育传统的培养模式.”近年，培养小学全科教师成为师范院校讨论的焦点.小学教育专业的课程设置是专业培养目标的具体落实与体现，要围绕全科卓越小学教师的培养定位展开，“全科”并不意味着要承担全部科目教学，是要培养“全面”的小学教师[42].因此，研究者建议收集国内外全科小学教育专业培养方案，结合小学教师专业发展标准和素养的相关研究，展开对专家、一线小学数学教师的调研，以确定小学教师数学核心素养要素，并编制全科小学教师数学核心素养之能力量表，促进以核心素养为导向，培养全科型小学教师为目标的教师培养课程体系建构和教学改革.

其次，在初步建构小学数学核心素养的组成要素及内涵的基础上，由于上述要素高度与中国小学生的学习实际相联，因此，研究者建议展开第二阶段专家意见调查，以建构符合中国国情的小学数学核心素养实质内涵，同时编制自测问卷和试题题本，进一步验证和修订这一构架.

再次，发展学生核心素养旨在推动教育教学改革，实现这一目标首先需要将核心素养纳入并深化到课程改革的过程中去，尤其是融入课程标准中[43].根据数学课程标准结构的经验，研究者建议开展数学核心素养融入课程标准的系列研究，主要包括制定学科核心素养导向的课程目标、构建并细化内容标准与数学核心素养的关联，制定数学核心素养评价指标和教材编写原则4个方面.

最后，小学生数学核心素养的构架应与时俱进.研究者建议小学生数学核心素养框架和内涵定义的内容，应该按照学生身心发展和数学学科内容的变革进行阶段性调整，以确保其框架在小学生数学教育中的适切性.

致谢：衷心感谢东北师范大学马云鹏教授、中央民族大学孙晓天和钟志勇教授、美国德州理工大学王箭教授、台湾彰化师范大学施皓耀教授对研究所提供的宝贵建议，台湾高雄教育辅导团吴佳慧督学、台湾宜兰教育辅导团陆昱任督学对研究提供的资讯帮助.