指向深度学习的数学整体性教学设计

（浙江省杭州市育海外国语学校，浙江 杭州 311122）

1 问题提出

课改十多年来，虽然教师们普遍认同新课程理念，也在努力改变自己的教学方式与方法，但在教学中还是存在诸多困惑，如“教了，为什么没有学会？”“学会了，为什么不能举一反三？”“学会了，为什么还是不会学？”等.究其原因主要有以下3个方面.（1）教学内容的“碎片化”.教学中忽视知识内在的关联性以及知识形成、发展过程中的逻辑关系，不清楚该知识在整个单元或教材体系中的地位和作用，形成“只见树木，不见森林”的教学状态，以致学生孤立习得的知识碎片不能正确地应用在现实生活的整体任务中，导致学习的迁移度低.（2）不重视“研究对象的获得”.教师习惯用“一个定义，三项注意”的方式让学生记住概念的形式化表述，在学生还不知道研究对象的基本特征时就开始“讲解例题，大量练习”，以致学生对知识、方法以及学科思想缺乏感悟、内化的过程，导致浅层次学习.（3）无经验的学习.学习本质是经验在深度和广度上持续变化，即个体在原有经验的基础上，通过自主建构形成新经验的过程.但教师习惯于重视学生知识的积累和运用，忽视学生研究知识的路径和方法经验的积累，以致学生不能运用“类比”的方法研究结构相似的内容，实现方法迁移，导致学生不能以少驭多、以简驭繁，这是学生数学学习负担重的教学原因.

综合3方面原因，其核心是教师没有引起、维持或促进学生的学习，学生的学习特别是深度学习没有真正发生.

2 深度学习

“深度学习”最早由美国学者马顿和塞利约（Marton&Säljö）在1976年相对于记忆和非批判性接受知识的浅层学习而提出的一个概念，之后，国内外许多学者展开了深度学习的研究，但其内涵还没有达成共识，研究者比较倾向下面的观点：美国研究院（American Institues for Research）最新的研究成果是，深度学习是学生对核心课程知识的深度理解以及在真实的问题和情境中应用这种理解的能力.此处的能力有3种：一是认知能力，即深度理解内容知识、批判性思维与复杂的问题解决能力；二是人际能力，即协作与交流；三是内省能力，即学会学习以及学术信念[1].该研究成果强调深度学习是基于对知识的深度理解，通过深度的学习活动，解决复杂问题并发展高阶思维.

何玲、黎加厚[2]认为：深度学习是在理解学习的基础上，学习者能够批判性地学习新的思想和事实，并将它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系，并能够将已有的知识迁移到新的情境中，做出决策和解决问题的学习.强调深度学习要重在学生的理解、反思、建构以及迁移运用和问题解决.

基于以上观点，研究者认为深度学习是基于学生对学习主题的理解，以解决挑战性问题和发展高阶思维为目标的学习，即通过对核心内容的分析和教材的整合以及学生高阶认知参与，获得知识、过程、方法、价值的深度感悟，完善和发展认知结构，形成学习能力，并能将这种能力迁移到新的情境，有效解决挑战性问题的学习.

3 整体性教学的理解

3.1 整体性教学的理论背景

“整体论”一词最初是1926年南非政治家斯穆茨首次提出，而作为一般方法论影响全球，并被人们广泛用于各个领域的是源于20世纪初贝塔朗菲提出的系统论.系统论把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系、相互作用中综合地考察认识对象.系统论强调事物的因果关系，站在事物全局的高度，用整体的视野去思考问题，优化问题解决策略[3].因此，整体性是系统的最基本特征，在看待某个事物时，不应将其分离成各个“碎片”逐一进行研究，而应将其看成一个完整的整体加以研究和考察，并使整体结构朝着优化的方向发展.

随着系统论的发展，20世纪90年代以来国外许多专家、学者都在积极研究和探索隐含整体思想的教学设计模式，比较有代表性的是麦里恩博尔提出了“面向复杂学习”的4要素教学模式（即4C/ID），把“学习任务、支持性信息、程序性信息、部分任务练习”4个要素作为训练复杂认知技能，改进业绩表现的核心设计要素[4].该设计模型主张先整体，后再用逐层展开的方式对局部和细节进行“精细加工”，最后回到整体，并强调为学生完成整体性学习任务提供有力的支持和有效的指导.

特别是认知心理学家奥苏贝尔从儿童习得知识的角度，提出了两个处理教材的原则：一是设计先行组织者，二是逐渐分化原则.所谓先行组织者，是指一些与教学内容相关的、包摄性较广的、比较清晰和稳定的引导性材料，它为学生提供了帮助理解和记忆新知识的脚手架.所谓逐渐分化原则是指学生首先应学习最一般的、包摄性最广的观念，然后根据具体细节对它们逐渐分化，或者说，教学中应先学习上位概念，然后在上位概念的同化之中学习下位概念[5].

先行组织者设计有两种方式，一是为学生提供新知学习的上位概念或知识大框架，引导学生形成对新知识本质属性的总体印象，使学生认识到知识之间的联系；二是为学生学习新知识提供类比或分辨的参照、提供学习线索，帮助学生获得研究内容、形成研究思路、找到研究方法.逐渐分化原则要求教学遵循从“整体”到“局部”、从“上位”到“下位”的原则，即在具体教学开始之前，以一个单元或一章内容作为一个整体，将所教的内容作一个整体性的梗概介绍，然后进入局部研究，使学生对这一部分内容的来龙去脉有一个大致的了解.奥苏贝尔的先行组织者策略和逐渐分化原则为整体性教学设计提供了理论基础和操作依据.

国内也有许多学者提出了整体性教学的一些观念，如王光明教授等从数学命题教学提出了命题的组块化教学和“整体—部分—整体”教学方式[6]；何小亚教授从发展学生良好的认知结构角度，提出数学学习应“先从整体知识的研究对象、研究方法和用途等方面给学生一个全面的概述，使学生对这一知识单元有一个整体的认识，然后逐个学习”[7].叶澜和吴亚萍教授在“新基础教育”实验中提出“整体感悟”“长程两段式”和“综合融通”教学策略[8].

《义务教育·数学课程标准（2011年版）》对整体性教学也提出了具体要求：“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点'与‘延伸点'，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同层次进行理解.”[9]

综上所述，这些已有的研究，它们的共同之处是都强调实施“整体—部分—整体”教学方式，让学生比较完整地经历问题研究过程、规划研究框架、积累研究经验，从而站在系统高度认识知识之间的关联性.

这些理论的构建基本是完备的，但缺乏实践性操作，以致一线教师无法将“理论”转化为“实践”这一生产力，因此，在实践操作层面需要对整体性教学作进一步研究.

3.2 整体性教学设计的含义

什么是整体性教学设计？至今还没有形成统一的定义，结合以上专家、学者的观点，研究者认为数学整体性教学设计是将具有结构关联的知识学习作为一个“系统”，以学生的“学”为中心，以“用”知识和方法学习新知、解决问题为目标，把具有相同或类似结构的一类课进行关联思考和整体设计，即通过对教材知识的“深度理解”，将同一个结构单元或者是不同单元但结构类同的内容的教学过程分为“学会结构”和“运用结构”两大阶段（简称“学·用”结构），前者主要整体认识知识关系、确定学习对象、形成学习经验，后者主要将这种经验迁移到新的情境，类比学习新知、解决问题，完善认知结构，其“学·用”结构如图1.

图1 “学·用”结构

上述教学过程中，首先，要结合具体情境，引导学生通过直观想象、数学抽象认识事物的本质、关系及其规律，获得数学的研究对象，这是开展整体深度学习活动的基础；其次，需要根据研究对象的特点确定合适的类比对象并构建研究路径，通过类比、联想、特殊化、一般化等推理活动发现和提出数学问题（概念、性质、法则等）、形成研究思路、找到研究方法是感悟数学思想，积累数学活动经验的关键，也是实现数学学习“以简驭繁”的关键；再次，在整体思路和方法指引下，组织学生进行自主探究，建构知识体系，这是整体性教学设计的核心；最后，开展应用获得的知识、思想、方法研究新情境中的问题，这是实现有效迁移的保证.

4 数学整体性教学设计的实施策略

数学知识不是孤立的“点”，而是围绕基本命题及统一的概念体系被组织、被建构的，是相互联系的“整体”.从数学知识的关联性来看，数学知识之间有纵向知识结构关联、横向知识结构关联或者纵横融通的知识结构关联，教学设计要遵循知识之间内在的结构关系进行整体设计.

4.1 纵向知识结构关联的整体设计

纵向知识结构关联是指单元内知识的发生、发展关系或结构相同的单元知识之间的关系，呈链状、纵深发展，又称“条状知识”.纵向知识结构关系的整体设计就是围绕单元知识（包括不同年级知识）进行系统思考，并将单元知识联系起来进行整体设计，采取“上挂下联”策略.这种设计有助于学生从上、下位联系（纵向联系）中，发现知识在其系统中的逻辑关系，反映的是知识之间的来龙去脉或因果关系.

（1）学——单元内纵向知识关联设计.

以一个单元内知识的发生、发展为线索，学习这一单元知识的“一般观念”，即问题如何发现、概念如何形成、性质如何研究、问题如何解决等.这个一般观念可以用作认识后续问题的基础，这些后续问题是开始所掌握的观念的特殊情况或一般化[10].

如在“有理数”教学过程中，引导学生形成的一般观念为：引入负数（生活实践的需要和数学自身发展的需要）—有理数的概念（定义，符号表示，分类及相关概念：相反数、倒数、绝对值）—有理数的性质（大小比较）—有理数的运算（运算法则、运算律）—有理数的应用.

在单元内知识的教学过程中，要重视学生对知识的理解与感悟，在此基础上，教师要注重引导学生积累数学学习活动经验，形成问题研究的观念系统（基本观念、方法观念和策略观念）.以“有理数”一章学习为例，教师要注重引导学生整理、归纳，形成以下4个方面的学习经验：数系扩充的基本原因是生产、生活实际的需求和数学自身发展的需求（满足运算的封闭性）；数系扩充的基本过程是背景—概念—性质—运算—应用；数系扩充学习的基本规律是引进一种新的数，就要定义它的运算，定义一种运算，就要研究它的运算律；数系扩充的基本思想是使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立.

数学教学的目的不只是学习现成知识，其最重要的目的是将习得的知识、方法迁移到新情境中去，也就是要学生学会创造性地解决问题[11].所以教师要重视学生学习整理，将知识和自身经验连接起来使之有意义，并在大脑里建构起知识体系，形成新的整体.

（2）用——单元间纵向知识关联设计.

单元间知识的纵向关联是指单元知识之间具有上下位关系，如数的扩充经历了“正整数—自然数—整数—有理数—实数—复数”的过程，这是一个不断从下位到上位的学习过程.

如“实数”一章的教学，教师要善于运用先行组织者教学策略，引导学生类比“有理数”一章的学习经验，主动构建“实数”一章的学习结构（过程与方法）：引入无理数（生活实践的需要和数学自身发展的需要）—实数的概念（定义，符号及在数轴上表示，分类，相关概念）—实数的性质（大小比较）—实数的运算（运算法则、运算律）—实数的应用.

学生在以后的“代数式”的学习，甚至高中的“复数”和“向量”的学习，同样都经历这样的类比学习过程.因此，从中学的“数”的学习来看，“有理数”一章的学习是“学会结构”阶段，“实数”“代数式”和“复数”“向量”的学习是“运用结构”阶段.当然，初中的“有理数”学习不是凭空的，而是基于小学的知识与方法，如果往前推，小学的“整数”的学习是“学会结构”阶段，中学的“数”学习是“运用结构”阶段，所以教师要系统理解教材，做好教学衔接，使知识有理想的“生长点”和“延伸点”.

4.2 横向知识结构关联的整体设计

横向知识结构关系是指结构类似的不同单元知识之间的联结关系，是由多个“并列结合关系”的知识链构成的结构块，又称“块状知识”.横向知识结构关系的整体设计就是围绕单元知识之间横向关联的设计，采取“左勾右搭”策略.

（1）学——起始单元知识教学设计.

起始单元指类结构的第一个单元，起始单元知识教学要遵循“逐渐分化”原则，从整体认识到局部研究，需要经历“引入—类概念—规划研究思路—局部知识研究”的过程.其中类概念的学习一般在起始单元的起始课发生，要经历“整体认识”的过程：具体事例基本图式对象划分类概念→抽象命名，这样有助于学生了解知识内容的框架或知识的来龙去脉，了解知识之间的联系，使新知的学习有理想的“固着点”.当然，过程中的“抽象命名”不是重点，只要学生知道有这样的概念和名称即可，重点是让学生知道新知在知识系统中的地位和作用，以及整体背景下局部知识的类型；“局部研究”需要经历“引入—概念（属）—性质（判定）—应用—特例研究（概念、性质、判定、应用）”的过程.

如“三角形”是“多边形”内容的起始单元，其学习需要经历从“整体—部分—整体”的过程，教学设计路径：三角形实例—三角形图形—三角形概念—三角形分类（按边和角两个要素分类）—三角形的性质（要素：边、角关系；相关要素：高线、中线、角平分线及外角等关系）—三角形全等（概念、性质、判定）等腰三角形（概念、性质、判定）—直角三角形（概念、性质、判定）—系统整理.其中“三角形实例→三角形分类”是“整体认识”的过程；“三角形的性质→直角三角形”以及九年级的“相似三角形”是“局部研究”的过程；“系统整理”是为了促进知识的系统化、结构化，形成新的整体.

起始单元教学，特别要注意两点：一是在起始单元的起始课教学中，要组织学生深度参与、整体感知，得到研究对象，提出研究问题，规划研究思路，这是整体性教学的困难所在，因为这个过程需要抽象、概括以及分类思想，对初中学生来说比较困难；二是要重视组织学生的学习整理，不仅要总结、归纳本节课或本单元的知识结构，而且要总结、提炼学生学习的方法结构和知识形成的过程结构，帮助学生在大脑中形成结构功能良好、迁移能力强的认知结构，促进学生的学习从“局部”走向新的“整体”.如“三角形”单元知识的学习，教师要引导学生逐步积累和形成几何研究的“基本套路”：

一是三角形概念学习要经历“通过三角形实例，抽象为三角形图形，概括图形共同特征，形成三角形的概念”的过程；

二是三角形的分类标准是三角形的组成要素，即要按照三角形的要素（边、角）的大小和位置关系进行分类；

三是三角形性质的研究对象为要素（边、角）关系以及相关要素（外角、3条重要线段）关系；

四是三角形的研究思路为从一个图形研究到两个图形关系研究，从上位到下位，从一般到特殊展开研究.

（2）用——横向知识的关联设计.

横向知识的关联设计是基于某一类知识在被认识过程中蕴含相同的思维方式，这样的设计可以打破“只见树木，不见森林”的“点状”教学模式，把具有类特征的内容整合成“块状”知识，凸显点状知识背后共通的思维方式.因此，横向知识关联设计要充分运用先行组织者策略，类比起始单元知识学习经验获得研究对象，再利用类比学习方法研究各分支内容，其设计流程如图2.

图2 横向知识关联设计设计流程

以“四边形”学习为例，三角形与四边形的学习有着相同的过程性结构和方法性结构，因此四边形的学习要善于类比三角形的学习内容、过程和方法进行整体教学设计：四边形实例—四边形图形三角形研究内容、方法、过程四边形的研究框架—四边形的概念（定义、表示、分类）—四边形的性质（要素：边、角关系；相关要素：对角线、外角等关系）平行四边形（概念、性质、判定）矩形（概念、性质、判定）—菱形（概念、性质、判定）正方形（概念、性质、判定）—系统整理.

在特例的研究中，平行四边形的研究又是“学会结构”阶段，矩形、菱形和正方形的研究是“运用结构”阶段，在矩形的学习中，教师要引导学生类比平行四边形的研究过程和研究方法开展半自主的研究，对于菱形和正方形研究要放手让学生进行自主研究.

4.3 “纵横融通”知识结构关联的整体设计

如果将纵向知识链或横向知识块放到整个年级乃至整个学段的教学中，这些知识链或知识块也不过是一个局部的知识链或知识块.因此，还需要将设计的视野从单元整体结构拓展到整个年级乃至整个学段的教学之中，在整个年级或学段教学的视野下审视、策划和体现结构链与结构块之间的关联性.譬如方程与不等式都是研究两个用代数式表示量之间的大小关系，不论是宏观的研究思路和方法，还是微观的知识体系，都具有相似性，所以它们可以类比.因此方程和不等式的学习都要经历数式学习过程：引入—概念—性质—运算—应用，而且不等式各部分内容的学习要注重引导学生借助方程的学习经验，以知识的相互联系为切入点，实现类比学习，如“一元一次不等式”教学设计（见图3）.

图3 一元一次不等式教学设计

整体性教学设计正如章建跃博士所说的“为学生构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考”[12].这种设计是基于对知识的系统理解，强调知识的关联和整合；强调形成学生主动类比发现结构、形成结构并加以拓展的学习心态和学习能力；强调将学生在学习过程中积累的经验迁移到新的问题情境，构建有序思维，解决挑战性问题，这也是深度学习的特质.