学生统计思维发展水平划分探究

李红云，朱文芳，伍春兰

（1.北京师范大学 数学与科学学院，北京 100875；2.北京教育学院 数学与科学教育学院数学系，北京 100120）

1 问题提出

大数据时代，人们需要用统计思维对随机现象所产生的数据做出合理的判断和决策，正如统计学家C.R.Rao所言：统计学存在于人类生活的各个领域，统计学知识对人的一生都是有价值的财富[1].随着对统计学及统计教育价值的认识，不管是高等教育还是基础教育阶段，统计教学目标都更加突出对学生统计思维的培养.

统计思维研究基本可以分为两种倾向，一是给出统计思维包含的要素或核心概念，如Wild和Pfannkuch、Moore依据统计学科的特殊性列出统计思维核心或要素[2-3]，Marriott给出20世纪到21世纪统计思维所包含核心概念的发展[4]；二是以数据处理过程或统计问题解决过程为主线，描述每个过程的认知特征，如Mooney中学生统计思维发展框架[5]、Reading的统计理解框架[6]、李化侠小学统计思维的表现形式[7]，国内很多研究以数据分析或数据分析观念为关键词，以数据分析过程为主线，有些研究也突出对数据随机性的认识[8-11].

综上，已有对统计思维的研究侧重统计学科的特殊性或者以数据分析为主线，缺少思维科学研究的视角；已有研究中不考虑随机性或是将随机性单列为一个维度.结合已有研究，尝试从统计和思维两个视角构建统计思维测评框架，并尝试将随机性认识融入统计思维发展的刻画中.

2 研究框架

研究分为两个阶段：第一次测试及访谈、第二次测试及学生学习个案.第一次测试及访谈，一是根据测试结果及学生访谈对学生表现的不同水平进行编码，二是调整并完善测试题目以使测试卷具有较好的内容效度.第二次测试及学生学习个案，初步探究随着年级升高学生统计思维水平的差异.

2.1 任务设计

逻辑学将思维形式分为概念、判断和推理，这里将统计思维形式分为统计概念、统计判断和统计推断（统计推理以归纳思维为主，通常称为统计推断[12]）.

统计学是研究数据的，本质不同的数据会催生不同的统计方法[13]，陈希孺将统计学研究数据分为3个类别：抽样数据、重复测量同一对象数据、试验设计所得数据[14]；Moore给出3种类型的数据：因个体不同产生的数据、重复测量同一个体的数据、随机化设计产生的数据[3]；Franklin认为数据的重要来源有：重复测量、自然观察、抽样数据和试验设计[15]；Stigler将似然作为统计学七大支柱之一[16]，强调附属于推断的概率，概率理解是理解和做出统计推断的基础，因而很多学者认同概率理解在统计思维中也是非常重要的.综上，任务设计时将数据来源分为重复测量、自然观察、随机抽样、机会情境和试验设计5种情境，由于试验设计的复杂性，任务设计时不考虑.由此，每个题目由统计思维和问题情境两个维度进行刻画，第一次测试题目分布见表1.

表1 第一次测试维度及题目分布

自然观察的统计概念考察包括单组数据1题，两组数据比较2题；随机抽样的统计概念考察包括随机抽样理解1题，平均数理解1题；自然观察的统计判断包括单组数据频率分布直方图1题、两组数据频数分布直方图1题、多变量数据统计表1题.

2.2 统计思维水平分析的理论依据

对学生表现水平进行分析和编码主要依据SOLO分类和已有相关研究结论.SOLO分类是基于皮亚杰认知发展理论的，很多统计学习研究都参照其进行水平划分.已有研究中对统计概念、数据信息判断、非正式统计推断学习的研究也作为重要参考.

2.2.1 SOLO分类法

SOLO（Structure of the Observed Learning Outcome）分类理论是由Biggs和Collis提出的[17]，根据学生回答问题表现的结构复杂程度划分为5个不同水平：前结构水平（prestructural）、单一结构（unistructural）、多元结构（multistructural）、关联结构（relational）和抽象拓展（extended abstract）.其中前结构水平表现为学生没有回答问题或关注无关要素给出回答；单一结构水平表现为学生只关注一个相关要素给出解答；多元结构水平表现为学生能从问题的多个相关要素进行解答，但尚未建立要素之间的关联；关联水平表现为学生关注所有要素及关系进行解答，思维水平已上升到抽象的层次；抽象拓展水平表现为学生的回答超越提供的资料，拓展到新的问题，给出开放的结论.

2.2.2 已有统计学习研究成果

统计概念学习研究，研究最多的是数字特征中的平均数，统计视角下对平均数的理解包含两个方面，描述数据和推断数据：平均数作为一组数据的概括，平均数应和离散程度结合起来，合理抽样前提下样本平均数可以作为总体平均数的估计等.

数据信息判断研究，典型代表是Konold和其同事提出的理解数据4种水平[18]：作为指示的数据、作为独立个案身份的数据、作为分类的数据、作为集合的数据.Curcio认为对统计图表的数据的读取包含3个方面[19]：数据本身的信息、数据之间的相关信息以及隐藏在数据背后的信息.

统计推断学习的研究，基础教育阶段学习的是非正式的统计推断，Rubin提出非正式统计推断3个重要的原则[20]：归纳，即超出给定数据之外的描述；以数据作为归纳的证据；描述结论时使用概率的语言.Mooney等在学生统计思维发展框架中，对数据推断划分了4个水平[5]：不基于数据或基于无关问题进行推断；主要基于数据进行推断，推断是部分合理的；基于数据和情境做出合理推断；多个视角，基于数据和情境做出合理推断.

3 研究过程

3.1 第一次测试及编码

第一次测试选择了4所完全中学，测试时间在2017年12月—2018年6月，每所学校初一、初二、高一、高二这4个年级各选择了1个平行班，测试时间在40分钟内.4所学校情况是：学校A城区十二年一贯制普通学校、学校B城区普通完中、学校C城区普通中学（有寄宿制学生）、学校D郊区示范中学.4所学校测试对象情况见表2.

表2 第一次测试对象

根据测试及学生访谈，参照SOLO分类和已有的相关研究，对学生表现出的不同水平进行编码.统计概念、统计判断、统计推断各选择一个题目说明.

3.1.1 统计概念题目举例

重复测量的统计概念题目如图1所示.

图1 重复测量的统计概念题目

该题目通过对老师手长做出判断，以反映学生对数字特征这一概念的理解，为不定向选择题.测试结果见表3，该问题情境下选择最大或最小值不合理，特别是在这里最大值偏离其它数据较多，只选择A或B比例也很少；其它选项都有一定比例.由于看不出选择理由，选择个别学生进行了访谈，访谈结果见表4.

表3 重复测量测试结果

表4 选项理由

访谈发现同样选择，学生表现出不同的思维水平：选择C理由1是确定性观点，理由2是综合10个数据、关注离群值基础上的概括.选择D理由1是综合10个数据的概括，理由2是综合10个数据、关注离群值基础上的概括.选择E理由是综合10个数据的概括.其它选项典型作答1是关注数据离散程度基础上的概括，典型作答2关注数据离散并超越这组数据以做出更好的判断.

依据SOLO分类及已有研究，按照学生表现的不同思维水平进行编码：（1）不合理选择或者确定性观点，对应单一结构，如选择C理由1；（2）在10个数据基础上进行概括，数字特征概括作用，对应多元结构，如选择D理由1和选择E；（3）关注数据离散程度并去掉极端值进行概括，关注10个数据及不同特征，对应关联结构，如选项C理由2和选项D理由2；（4）关注到10个数据差异大，想到再收集更多数据，对应抽象拓展结构.

3.1.2 统计判断题目举例

自然观察的统计判断题目如图2所示.

图2 自然观察的统计判断题目

该题目是一组自然观察的数据，以频数分布直方图形式呈现，通过开放题形式考察学生对数据信息获取以反映对数据的判断水平.

依据SOLO分类及已有研究，按照学生表现出的不同思维水平进行编码：（1）只关注个别数据，如身高在141～145之间的人数最多；（2）关注同类多个信息，如141～145的人数最多，156～160没有人，131～135和146～150人数一样多；（3）提取不同角度信息，如141～145人数最多，身高范围是130～165；（4）关注数据整体，如141～145人数最多，总体呈现中间段多，两端分布少的趋势；（5）关注数据整体基础上，超越数据的判断，如这34人身高整体不高，可能是小学生.

3.1.3 统计推断题目举例

统计推断题目如图3所示.

图3 统计推断题目

该题目随机抽样下统计推断，给出结论的考察以开放题形式，对结论确定性评价以选择题形式.第一问学生有4类表现（表5），第二问学生选择①或⑦人数分别是32人、28人.

表5 估计三年级男生平均身高

第二类作答学生访谈，主要两个问题：（1）为什么没有给出结论？（2）三年级男生平均身高会恰好等于134.3厘米吗？第二类作答学生对问题（1）有些疑惑，认为计算出平均数就给出了结论；追问问题（2）时，意识到不一定正好等于，大概会是134.3厘米.结论确定性评价选择①的学生认为10位同学有可能偏差和总体偏差很大，并认为随机抽样方法不可取.

依据SOLO分类及已有研究，综合学生给出结论及对结论不确定性认识两方面，按照学生表现出的不同思维水平进行编码：（1）确定性推断，如根据10位同学不能估计三年级所有男生平均身高，或三年级所有男生平均身高为134.3厘米且这个结论100%正确.（2）只关注随机抽样的偏差，如10个人的平均身高有可能和总体平均身高差很多，这种估计方法有风险；（3）认可样本推断总体并认识到结论不是100%正确，如三年级男生的平均身高大约为134.3厘米.

3.2 第二次测试及结果

3.2.1 题目调整

第一次测试基础上，对测试题进行4个方面的调整：（1）删减4个题目，统计概念自然观察情境删掉两组数据比较1题，随机抽样删掉平均数理解；统计判断自然观察情境删掉两组数据频数分布直方图1题；统计推断自然观察两组数据推断1题；（2）选择题改为单向选择，选项设置根据第一次测试不同水平的编码；（3）部分开放题改为选择题，如样本推断总体的题目，根据第一次测试不同水平编码设置成选项；（4）增加题目，增加多组随机样本下进行统计推断的题目，即抽样分布的直观表示.第二次测试题目分布见表6，其中-1表示删减1个题，+1表示增加1个题.测试后对多组随机样本的统计推断进行了学生学习个案研究.

表6 第二次测试题目分布

3.2.2 测试对象

选择城区两所学校，每所学校初一、初二、高一、高二各选择了一个平行班，其中学校1为城区示范完中，学校2为城区普通完中.由于个别题目有关联，拆分为两部分，并且隔开一定时间进行测试，总测试时间不超过30分钟.测试时间为2019年3月，共发放问卷287份，收回有效问卷278，具体人数分布见表7.

表7 测试对象

3.2.3 测试结果

对应上述所举第一次测试3个例子呈现第二次测试结果.

重复测量的统计概念，第一次测试只有个别学生想到再收集更多数据，该题目选项设置只有水平1到水平3，保留了一个其它选项，第二次测试其它选项作答中并没有出现水平4.从表8来看，初一初二两个年级差别不大，高一与初二相比有更多学生达到水平3，高二达到水平3的比例高出高一近20%.

表8 重复测量的统计概念理解

频数分布直方图形式下对数据信息的判断，题目是开放题形式.从表9可以看出随着年级的升高，学生对频数分布直方图的数据信息判断水平呈现出上升趋势，初一年级主要在水平1和水平2，初二和高一主要在水平1到水平3，高二年级主要分布在水平2到水平4.

表9 频率分布直方图数据信息判断

样本推断总体由两个题目构成，题目1是只提供一组随机抽样样本，根据第一次测试编码设置水平1到水平3的选项，另外想要考察学生是否能够对统计推断合理性与风险性的平衡认识，第二次测试设置了水平4的选项：认可样本推断总体并认识到可能存在例外，如三年级男生的平均身高约为134.3厘米，但也有可能偏差很大.题目2提供30组随机抽样样本且差异比较大（样本均值最低132.3厘米，最高139.1厘米），只有极少数学生能够进行合理推断.由表10来看，初一、初二、高二这3个年级主要分布在水平3和4，差异并不大；高一年级约有30%的学生在水平2，更多关注随机抽样的偏差性.

表10 随机抽样下样本推断总体

测试后选择了6位初二年级学生进行个案研究，提供了30组样本量为10的随机样本及样本均值、总体均值，验证样本均值推断总体均值是否可靠的学习活动系列.其中5位学生都能关注30组样本均值的集中趋势和离散程度，想到给出一个总体均值为标准的区间，并用这30组样本落入该区间的经验频率“评价”这种方法的可靠性；其中1位学生一直在关注着统计推断的偏差性，最后提出了一个具有批判性的问题：如果再换30组，结果还会是这样吗？另外1位学生经历了同样的学习活动，但一直在担心极端样本的 出现.

综合两次测试结果及学生学习个案，并结合统计学科中样本推断总体的理论基础，将统计推断拓展到水平5，即提供给学生多组随机抽样及样本均值，学生能想到给定一个偏差，在这个偏差下用频率刻画归纳推断的可靠性；或者在学生认可可以用频率刻画这种可靠性后，能进一步想到如果再重复抽样，可靠性是否会发生变化？经历学习过程后，学生对平均数的认识也达到统计量水平的认识：“以前就是计算平均数然后进行推断，通过这个活动我知道平均数有可能和真实偏差大，但很多时候是可靠的.”有学生开始初步关注30个样本平均数的规律性，初步能够从量化角度研究统计量的规律性，将学生的这两种对统计概念的理解作为水平4和水平5.

4 研究结论

依据逻辑学对思维形式的分类，将统计思维形式分为统计概念、统计判断、统计推断；根据已有研究对统计学研究数据本质结构的不同，选择重复测量、自然观察、随机抽样及机会情境，由统计思维形式和问题情境构建统计思维测评框架.在该框架下设计若干题目进行两次测试、学生访谈及学生学习个案，并借鉴SOLO分类及已有统计学习的相关研究结论，对统计概念、统计判断、统计推断进行水平划分.

4.1 统计概念理解水平划分

统计概念理解水平的划分，在对随机抽样及样本、数字特征、频率与概率关系的认识等理解水平划分基础上进行概括，将统计概念理解划分为5个水平（表11）.

4.2 统计判断水平划分

判断是断定事物情况的思维状态[21].综合学生在单变量频数分布直方图、多变量统计表中对数据信息的判断，将统计判断划分为5个水平（表12）.

表11 统计概念理解水平划分及描述

表12 统计判断水平划分及描述

4.3 统计推断水平划分

根据观测或者实验所获取的信息对总体做出统计推断，必须伴以一定概率表明这个推断的可靠程度[22].综合学生在样本推断总体、频率估计概率的测试表现和统计推断的理论解释，将统计推断划分为5个水平（表13）.

表13 统计推断水平划分及描述

5 研究反思

测试题目的形式，以选择题形式会给学生暗示，学生表现出的水平一般好于开放题形式下的水平，如以开放题的形式样本均值推断总体均值时，学生基本上都是给出一个确定性的答案.测试对象是中学生，研究中给出的5个水平并不是要求中学生达到的统计思维水平，如统计概念和统计推断中的水平5要到大学正式学习统计学时才能够达到.

对统计概念、统计判断和统计推断分别进行了水平划分，个体在解决统计问题时这3个方面往往是交织在一起并相互作用的，有时可能以某种思维形式为主，并不是按照先有概念，由概念到判断，再到推断的过程，可能是判断、推断时形成概念或促进概念理解水平的提高.如在对样本推断总体的访谈后学生对平均数的新认识：平均数不是“一个”数，而是很多可能平均数的集合，这些数还会有规律.研究表明学生在进行统计推断的过程中，对平均数的认识由水平3关联理解过渡到水平4随机角度理解.学生在统计概念、统计判断、统计推断发展之间的交互关系是需要进一步研究的.另外研究中给出的水平划分是否合适，也需要进一步验证和修正.