小学高年段空间观念测评体系研究

（山东省教育科学研究院，山东 济南 250002）

图形与几何是小学数学四大课程内容之一，小学阶段是学生空间观念发展的重要时期.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准2011年》）将“空间观念”作为十大核心词之一，并在课程总目标中提出：“在从物体中抽象出几何图形、想象图形的运动和位置的过程中，发展空间观念.”[1]那么，究竟空间观念的内涵是什么？小学阶段空间观念是如何表征的？小学阶段空间观念的发展水平是如何划分的？如何编制量表测试学生空间观念的发展水平？小学高年段图形与几何教学内容比较密集，教学质量的高低直接影响着小学生空间观念的发展.以青岛版小学数学教材相关内容的编排为研究载体，尝试构建小学高年段空间观念的可操作定义，并通过实证研究，探索小学高年段空间观念的测评方法，为一线教师开展几何教学提供可操作性的参考和借鉴.

1 空间观念内涵的再认识

1.1 空间观念的内涵

空间是物质存在的一种客观形式.观念是客观事物在人脑里留下的概括形象.那么，空间观念的含义如何？不少学者从不同的角度对空间观念的内涵做了界定，但在认识上还不一致.美国新泽西州的数学课程框架认为：空间观念是对于图形和空间的直观感觉,它涉及传统的几何概念，例如对于几何图形的识别、想象、表征、变换的能力；也包含其它的一些非正式的方式去看待二维和三维的空间，例如折纸、镶嵌、对称、投影等[2].NCTM（全美数学教师理事会，1989）指出，空间观念是对一个人周围环境和实物的直接感知；对于二维三维图形及其性质的领会和感知，图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面[3].孙晓天、孔凡哲和刘晓玫3位学者认为，空间观念是学生主动、自觉或自动化地“模糊”二维和三维空间之间界限的一种本领，是学生对生活中的空间与数学课本上的空间之间密切关系的领悟[4].史宁中认为，空间观念是把三维空间的物体抽象成二维图形，研究的问题主要是位置关系、变化规律[5].王焕勋在《实用教育大辞典》中指出，在空间知觉的基础上形成的关于物体的形状、大小及其相互位置关系（方位、距离）的表象.小学数学的几何初步知识教学中，让学生感知实物、模型、图形，学生也就形成了空间观念，即获得线、角和简单平面图形和立体图形的形象，能对不太远的物体间的方位、距离和大小有较正确的估计，能从复杂的图形中区分出基本图形[6].《标准（2011版）》是从活动特征来看空间观念的具体表现：根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等[7].基于此，对“空间观念”的相关研究主要以《标准（2011版）》为理论依据和基础.

1.2 空间观念的表征

从心理学的视角看，与空间观念有着紧密联系的概念有空间知觉、空间表象、空间想象和空间能力.空间知觉是指关于物体、图形的形状、大小及距离、方位等位置关系的知觉.空间表象是在大量空间知觉的基础上，形成的关于物体、图形的形状、大小及相互位置关系的印象.空间想象是指在事物或图形的影响下，在言语的调解下，头脑中已有空间表现经过加工、改造、结合，产生表象的心理过程[8].空间能力是以空间形式为主要对象，以空间知觉、表象和想象为主要心理活动过程，在头脑中进行几何抽象、分析与综合、判断与推理的思维能力.是指人们顺利完成空间问题解决活动所必备的个性心理特征[8].在小学，空间观念与空间表象为主要表征形态，也包括一定的命题表征，并涉及空间知觉与初步的空间想象.

依据《标准（2011版）》对于“空间观念”内涵的解释，将空间观念分为4个维度，即：根据物体特征抽象出几何图形，由几何图形想象出实际物体；想象物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动与变化情况；依据语言描述图形、利用几何直观手段解决问题等.4个维度构成了空间观念的有机整体.为了表述方便，将4个维度分别简称为：维度1、维度2、维度3、维度4.

维度1主要指学生进行“实物的几何化”的能力.具体地说，要求学生能够进行几何图形与实际物体的相互转换，实现映像与实物的有效衔接.比如通过对实物的观察，可以根据其结构和特征等，归纳和抽象出它的几何原型；也可以根据已知几何图形，想象出与它对接的实际物体.

维度2主要指学生想象物体方位和相互之间位置关系的能力.侧重于能够运用“准坐标”或其它系统表征出位置以及空间关系，侧重方向与位置的表征.

维度3主要指学生描述图形的运动与变化的能力.在小学阶段，图形的运动与变化主要包含轴对称、平移、旋转3个方面的内容，它们是变换思想的有效载体.

维度4主要指学生的语言理解和几何直观能力.维度4是空间观念的重要组成部分，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.能否利用几何图形有效地描述、分析和解决问题，是考量一个人空间观念的重要指标.

综上，4个维度是一个相互贯通、相互依存、不可分割的有机整体.维度1和维度2侧重于想象层面，在思维能力与想象力上存在着并列关系，是后两个维度的基础.维度3和维度4侧重于语言描述图形和几何直观能力，是前两个维度的进一步延伸与发展.

小学数学教材中，与空间观念关系最为密切的内容当属“图形与几何”.如青岛版教材高年段“图形与几何”教学内容共设7个单元，涉及“图形的认识、测量、图形的运动、图形与位置”4方面的内容，其对应的空间观念如表1所示.

表1 青岛版小学数学教材高年段“图形与几何”教学内容与空间观念的对应情况

2 小学生空间观念的测评

2.1 空间观念发展水平的划分

数学素养测评离不开发展水平的划分，空间观念的发展要求是随着学生年龄的增长、学习内容的增加、理解能力的提高而升级的.在厘清了空间观念的基本内涵，了解了空间观念的几个维度的基础上，将空间观念发展水平分为“知识理解、知识迁移、知识创新”3个层次，为了表述方便，将3个层次分别简称为：水平1、水平2、水平3.

水平1：（完全）直观想象阶段.此水平所要完成的任务的特点是以视觉为主、基于经验、纯粹的想象，观察分析的是单一的对象.

水平2：直观想象与简单分析抽象阶段.完成此水平的任务时，仍以直观想象为主，但除此之外，还需要进行一些简单的分析、抽象，或进行基本的推理，观察分析的对象及想象的过程较之水平1要复杂一些.

水平3：直观想象与复杂分析阶段.在完成此水平的任务时，分析、抽象和推理是在直观想象基础上所必须的，或者观察分析的对象更为复杂（即经历较为复杂的心理表象形成和心理操作过程），在大脑中要经历较为复杂的加工组织过程[9].

上述3个水平层次呈递进态势，思维活动由简单、直观想象，向复杂、抽象发展，空间观念也由“空间知觉→空间表象→空间想象→空间能力”循序渐进地形成，并且衔接得当，适应学生身心发展的规律.

2.2 测评试卷编制

测试题目设计是测评实施的前提条件，它既体现了对空间观念内涵的理解，也希望通过这些题目很好地反映学生空间观念的发展规律及水平.并以此为现实依据进行培养策略的探讨.因此，在认真分析教材内容、挖掘其“空间观念”因子的基础上，参照国内外的相关研究，结合刘晓玫提出的关于空间观念发展水平层次的有关观点，精心选取素材，整理结构，编制问卷.五六年级试卷均设计了12道题，包括4个维度的考察内容，题目数量分配比为1:1:1:1；每个维度又设计了3个不同发展水平层级的题目，数量分配为1:1:1.具体见表2.

2.3 测评对象

调查样本来自山东省6个地市（青岛、烟台、威海、泰安、枣庄、临沂），尽可能全面覆盖山东省东西部地区城乡小学，以保证样本对全省小学生具有足够的代表性.抽样方式采用整群抽样，抽取的学生为小学高年段学生，样本容量五年级3 316人，六年级2 864人.东西部地区各占50%，城区与农村学生约各占50%，男女比例约为1:1，试卷发放、收回及有效率均为100%.

2.4 测评结果与数据分析

2.4.1 学生空间观念“维度1”发展概况

“维度1”是对学生根据物体特征抽象出几何图形，或根据几何图形想象出所描述的实际物体能力的测评.从总体上看（见图1），五、六年级学生在“水平1”层级的测评中表现突出，两个年级的正确率均在90%以上，说明绝大多数学生的空间观念水平在“水平1”以上.换句话说，绝大部分学生能够以视觉为主、基于经验、靠纯粹想象来解决问题，具备了通过直观想象来实现实物几何化的能力；在“水平2”层级的检测中，五、六年级80%以上的学生，能够准确地解决问题，说明大多数学生能够利用直观想象与简单分析推理来解决问题，具备了进行平面图形与立体图形相互转换的能力；“水平3”层级的测试成绩不太理想，两个年级的正确率都不足60%，说明学生的综合分析能力和推理能力比较差，如T03（见图2）给出了一个带有“心形”和斑马线图案的正方体的平面展开图、4个带有“心形”和斑马线的正方体，要求学生选择与给定平面展开图相对应的正方体.解答这道题需要理清3个关系：一是“心形”与斑马线中“横线”的位置关系（互相垂直）；二是“心形”与斑马线中“纵线”的位置关系（互相平行）；三是折成立体图形后“心形”所在的平面与“斑马线”所在平面的位置关系（互相垂直）.理清这3个关系后，还需要学生利用直观想象和较复杂的推理才能得到准确答案.这道题的测试反映出学生在综合分析和推理能力方面还有一定的欠缺，教学时应引起重视.

图1 维度1

图2 题目3

表2 小学高年段学生空间观念发展能力测评试卷双向明细

2.4.2 学生空间观念“维度2”发展概况

“维度2”主要是测评学生想象物体的方位和相互之间的位置关系的能力.测试结果表明（见图3），两个年级学生都能很好地达到水平1层级，而且两个年级之间基本没有差异，达成率分别为93.6%和92.8%；对于水平2，尽管五年级与六年级相比略差一些，但得分率均在 80%左右，总体表现还是比较不错的；在“水平3”层次的测试中，两个年级都在75%左右，与维度1水平3相比要高得多.因此说，学生在方向与位置方面空间观念的总体发展水平还是比较高的.但是从答题的具体情况来看，学生在水平3层次的能力培养上还需要进一步加强，尤其在三维空间方位的转换方面需要进一步强化.如五年级T06（见图4），在给定的“准坐标系”中广场是观察点，而提出的问题却是“广场在超市的西南面，确定超市所在的位置”.要解决这个问题需要进行全面细致的分析：先观察、分析确定已知“准坐标系”中的观察点（广场），再分析确定问题中的观察点（超市），最后还要通过转换才能得到正确的答案.此题对学生空间位置的转换能力要求还是比较高的.

图3 维度2

图4 题目6

2.4.3 学生空间观念“维度3”发展概况

“维度3”主要测评学生描述图形的运动与变化的能力.从测试结果看（见图5），3个水平表现得都不错，尤其是六年级水平1层级的测试，正确率竟高达98%.两个年级学生“水平2”层级的得分率均在85%左右；水平3层级的得分率也接近80%，与水平2相差无几.总体来看，绝大多数学生具备了根据轴对称图形的特征进行直观想象能力，多数学生能够运用观察物体和图形旋转的特征及性质，进行比较复杂的观察与分析并合理地解决问题.

图5 维度3

2.4.4 学生空间观念“维度4”发展概况

“维度4”主要考察学生依据语言描述图形和几何直观能力，这也是几何教学中一项重要的解题能力.此维度同样设计了3个水平层次的题目，总体来看，在维度4中，学生水平层级的达成度远远低于前3个维度（见图6）.从两个年级的总体上看，达到“水平1”层级的学生，分别只有79.5%和65.4%；达到“水平2”的得分率只有50%左右，“水平3”的正确率均在50%以下，尤其五年级的正确率只有39.5%.错误的主要原因：一是图形的分解能力较弱.如五年级T12（见图7），探究在九宫魔方的上面增加一个小正方体、在魔方的每个角或每个面的中心位置上挖掉一个小正方体，魔方表面积的变化情况.解决这个问题需要具有一定的空间想象力，能够想象出不同位置上小正方体的增加（或减少）后，表面积的变化情况，并能够通过分类讨论，求得结果.卷面反映是，多数学生知道在什么情况下表面积增加了，什么情况下表面积减少了，但具体增加或减少几个面，无法正确判断.究其原因是学生想象不出图形分离后的状态，缺乏先将图形进行分解再进行分类讨论的能力.二是文字与图形之间的转化能力较弱.测试后访谈得知，五年级T10、T11（见图8）和六年级T12（见图9）的错误率之所以高，是因为学生虽然能看懂题意，但是缺乏将文字转化成图形的能力，因此就会束手无策.这些题目不仅要求学生能够读懂题意，还需学生能够根据题意画出图形或者在脑子里想象出图形，并借助图形建立起数与形的联系，从而使问题得以解决，这些都是学生的薄弱点，需要在教学中重点强化.

图6 维度4

图7 题目12（1-3）

图8 题目10和题目11

图9 题目12

3 结论与思考

3.1 主要结论

利用小学生空间观念发展水平测试卷进行测试，通过对结果进行定量的统计分析和定性分析，结论如下.

3.1.1 小学生空间观念的发展水平

按照直观想象阶段、直观想象与简单分析抽象阶段、直观想象与复杂分析阶段3个发展水平划分，得到：

（1）以测试结果为依据，五、六年级学生都能很好地达到水平1，它们之间的差异不大；在水平 2层级上六年级稍微高于五年级；在水平3的表现上，总体上看两个年级都比较差.

（2）从测试内容来看，维度1、维度2和维度3测试结果两个年级在水平1和水平2上的差别不大，水平1均在90%以上，水平2均在80%左右；维度4三个水平层级的表现都比较差，其中五年级水平3得分率还不到40%.

（3）两个年级在水平3上的表现上差异不大，说明如果没有外界的干预和刺激的作用，学生的水平难以自然提高.

3.1.2 小学生空间观念发展的规律

小学生的空间观念水平发展比较缓慢.这是由于其思维发展特点决定的.高年级的学生开始能够了解事物之间的联系，并根据种属关系对事物进行分类和简单的分析概括，甚至掌握一些抽象的概念等，逐步以具体形象思维为主过渡到以抽象逻辑思维为主.因此，就五、六两个年级来说，学生思维发展水平基本在同一层面，所以其空间观念的发展水平并没有明显的区别，如若深入研究其规律，则需要通过各个分项测验以及一些具体问题的分析，才能获得关于学生空间观念发展的一般规律和结论.

3.1.3 小学生空间观念发展的特点

（1）学生描述图形的运动与变化的能力较强.

通过数据统计得知，在“维度3”的测评中，3个水平层级的达成率都明显高于其它几个维度，其中有85%左右的学生能达到“水平2”层级，75%以上的学生能够达到“水平3”层级.在测试后访谈中很多学生表示，生活经验对空间观念的发展有较大的帮助.

（2）学生理解数学语言，运用几何直观解决问题的能力较弱.

几何直观主要是指利用图形描述和分析问题[1].而在描述和分析问题时，学生首先需理解数学语言，并能借助几何直观沟通数与形的内在联系，将较复杂的问题变得简单、形象和明了，才能使问题得以解决.这对于小学生来说要求比较高，只有加大干预，才能有所成效.从统计数据中可以看出，“维度4”3个表现水平比其它几个维度低很多，“水平2”和“水平3”的达成率基本上都在50%以下，这说明半数以上学生在“维度4”方面的发展能力仅限于“水平1”层级.

（3）不同地区学生的发展水平差异比较大.

统计结果显示（见图10），不同地区学生的空间观念发展水平明显存在着差异，从六地市五、六年级平均正确率统计图中可以看出，正确率最高的D地区比最低的B地区高出23.2个百分点.这个数据说明，学生的学习方式、学生已有的认知经验和水平、教师的教学方法、教学条件和环境等对空间观念的形成都会产生一定的作用.正如冯·希尔夫妇所说，决定学生几何思维发展水平的主要因素不是年龄或生物成熟程度，而是主要取决于教学的性质[10].

（4）空间观念的水平与数学成绩的关系.

从六地市提交的试卷分析及教师访谈中发现，空间观念的发展水平与数学成绩成正相关.数学成绩较好的学生，其空间观念的发展水平明显高于数学成绩较差的学生.

图10 六地市五六年级平均正确率

3.2 反思与展望

该研究以《标准（2011年）》青岛版小学数学教材“图形与几何”内容设置为依据，利用自行编制的空间观念发展水平测试卷，对小学生空间观念的发展水平、规律、特点等方面进行了剖析，获得了相关结论，这些结论对今后“图形与几何”教学的改进，提供了详实的事实依据，也为今后青岛版教材的修订提供重要参考.

测试卷的编制既是该研究的基础，也是一件极具创造性的工作.由于测试学生“空间观念”发展水平方面的资料、以及可借鉴性的经验比较少，要想比较全面、系统、多水平、多角度地衡量学生空间观念发展的水平，需要对测试卷的内容维度、水平划分、评价标准等因素进行全方位、深入地思考，一方面使其内部一致性更高，另一方面使其每个题目测试的指标更独立和明确.总之，每个环节都需考虑周全，才能确保测评的有效性.

综上，构建小学生空间观念的测评体系，是为了引领教师改进教学方式，培养学生的空间观念和创新意识.因此，无论是空间观念测评体系的研究，还是学生空间观念的培养，都需要“淡化形式、注重实质”[11].