抓住起点发挥潜能创设素材丰富内涵——“平均数”教学实录与评析

◇执教/金蕾红 评析/陈庆宪

课前思考：

“平均数”虽然是学生认识的第一个统计量，但学生在学习本课之前有“平均分”和“等分除法”等认知基础，再加上在平常生活中无意识地感受到平均数的一些应用，因此，在本课教学时我们首先要思考的是如何更好地从学生的认知起点出发，充分挖掘学生的学习潜能，促使学生自主理解平均数的含义，体验平均数的应用价值。所以我们想，选择怎样的学习素材，才能让学生在经历猜想、质疑、交流、概括的过程中更好地认识平均数？能否选择一些富有数学内涵的感知材料，让学生在经历比较、分析的过程中去进一步理解平均数的含义？针对以上想法，我们对本课作了以下的教学尝试。

教学实录：

一 引发自主猜想，理解概念含义

1.谈话引入。

屏幕上出示以下问题：某班一次数学考试的平均分是90。那么是不是这个班的每一位同学在这次考试中一定都得了90 分？

生1：不一定。

生2：有的比90 分多，有的比90 分少，也有的可能刚好是90 分。

师：那考得比90 分多的分数，去哪儿了呢？

生：给没有考到90 分的同学了。

师：那全班同学都考了90 分有可能吗？

生：有可能，但这可能性太小了。

师：那全班同学都考到90 分以上有可能吗？

生：不可能，因为平均分是90。如果都考到90 分以上，那平均分就要在90 以上了。

师：是的。显然全班同学也不可能都考到90分以下。

评析：教师引进学生平常最熟悉的全班平均成绩，通过简短的对话，唤起了学生在平常生活中的经验积累，使学生初步感觉到平均分是通过移多补少得来的。

2.引发探究。

屏幕又出示以下问题： 在一次投篮比赛中,齐齐、东东、雷雷3 位同学平均每人投进5 个球。那么是不是这3 位同学在这次比赛中一定都是投进了5 个球？

生：不一定。

紧接着教师向学生提出：请你猜一猜这3 位同学有可能各投进几个球，并把你的猜想在统计图（图1）上用画小圆圈的方法画一画。想到谁投进1 个球，就在谁的上方画1 个小圆圈。

图1

学生独立猜想画图后，小组交流。教师在巡视中找出有代表性的5 个学生的猜想，让学生用贴小磁片的方法在黑板上呈现出来。这5 个学生贴好磁片后，教师提出：你觉得以上同学的猜想都对吗？

生：有2 位同学的猜想总数不是15 个。

教师及时让学生自己作了修正，并随机提出：为什么总数一定要是15 个呢？

生：因为总个数15，除以人数3，刚好是平均每人5 个。

师：你们的意思是平均数可以用“总数÷份数＝平均数”去求。请大家继续观察黑板上所摆的图，想一想，除了通过计算得到平均数，还可以用什么方法来验证？

针对黑板上的各种猜想，学生提出把图中超出5 个的磁片，移到少于5 个的上面去，使每人一样多。 教师根据学生的表述在图上勾画出移动的个数，并画出“5 个”高度的水平红线（如图2）。

图2

师：像这样把多的移给少的，使每份一样多，叫作移多补少。

教师板书：移多补少。同时指出：平均数还可以通过移多补少得到。

师：在这次比赛中，他们3 人实际上各进了几个呢？大家请看——（投影出示：奇奇2 个，东东9 个，雷雷□个）想一想雷雷实际投进了几个。

生：4 个。

师：你是怎么知道的？

生答略。

评析：在以上的教学过程中学生之所以能充分展开猜想，首先取决于教师准确地把握了学生的学习起点，学生根据日常经验的积累发挥了潜能。其次，教师精心设计了简约的猜想素材，以3位同学平均每人投进5 个球为猜想的切入点，而这“3”位、平均投进“5”个，数量不多不少，便于学生猜想和画图。另外，在学生独立猜想之后，教师选择了5 位同学的猜想，并用摆小磁片的方法，在黑板上呈现了条形统计图。接着，针对这5 位同学的猜想，组织学生分析它们的共同点。当学生概括出3 位同学投篮总数应该是15 个时，自然得出平均数的计算方法；当教师提出用另一种方式验证时，学生自然想到了移多补少的方法。可见这一猜想、画图、质疑、概括的过程，实际上是学生把已有的经验积累上升为理性认识的过程，同时在这一动态过程中学生初步理解了平均数的含义。

二 创设对比素材，认识概念作用

教师对教材中的例2，原先是男生队有5 人在踢毽子，女生队有4 人在踢毽子，先改成男生队和女生队都是4 人，投影出示图3。并提出：比较这两队的成绩，你认为哪队成绩好？

图3

生：当然是女生队成绩好，因为女生队踢的总个数多。

接着教师出示图4，并提出：现在说男生队成绩好你同意吗？

图4

生：不同意。因为男生队现在有5 人，而女生队只有4 人。

师：怎样比较？哪队成绩好呢？

生：可以先计算出各队平均每人踢多少个，再来比较。

师：你们觉得用这种方法比较可以吗？为什么可以？

学生思考片刻后回答：因为用各队踢的总个数除以各队的人数，可以计算出各队平均每人踢多少个，用两队的平均数进行比较，对两队来说是公平的。

师：好吧，大家分别算一算吧。

教师根据学生的计算，板书算式。

生：从平均每人踢毽子的个数看，还是女生队成绩好。

师：是呀！当日常生活中碰到两组数量的份数不同时，可用平均数来说明各组数量的一般水平。

评析：为了突出平均数的作用，教者对教材中的例2（原先两队人数不同），先改成两队人数相同，这时学生自然地采用了比较总数量的方法来判断两队成绩。 但当改为两队人数不同时，学生认识到不能用总数量来比较了，从而想到采用计算出平均数的方法来比较。这样小小的一点改变，使学生产生了认知冲突，强化了平均数在解决实际问题中的作用。

三 增设练习素材，体验概念价值

1.分析合理性。

投影出示以下生活素材：体育老师要求同学们自己来汇报平常立定跳远的成绩。

聪聪到操场跳了1 次，成绩是185cm，就向老师汇报说自己的成绩是185cm。

明明跳了4 次，成绩分别是：138cm、140cm、198cm、136cm。他汇报说自己的成绩是198cm。

芳芳也跳了4 次，成绩分别是：160cm、152cm、154cm、142cm。 她汇报说自己的成绩是152cm。

教师先让学生看清以上3 位同学的汇报方式后提出： 你认为哪位同学汇报的成绩比较合理？为什么？让学生先分组交流，再集体交流。

生：芳芳汇报的比较合理，因为她选择自己跳了4 次的平均成绩。

师：为什么聪聪汇报的不合理呢？

生：因为聪聪只跳了1 次就汇报了，带有很大的偶然性，仅用跳1 次的成绩还不能说明他平常的成绩。

师：是的，跳1 次不能反映平常的成绩。那明明同学也跳了4 次，他的汇报合理吗？

生：因为明明汇报了4 次中的最高成绩，而其他3 次的成绩都比较低，只汇报最高的成绩是不合理的。

生：我认为明明的汇报也是合理的，因为我们运动会比赛时都是取最高成绩。在有些比赛项目中也取最高成绩来衡量选手的水平。

师：平均数可以说明平常的一般成绩。

评析：这一环节学生通过对三种汇报方式的质疑交流，感悟到从多次发生的事件中计算出它们的平均数，通常能更好地衡量事件发生的一般水平。对这类素材的讨论，使学生进一步知道了平均数在解决日常生活问题中的价值。

2.计算平均数。

师：芳芳向老师汇报的成绩是152cm，这真是她4 次跳的平均数吗？你想用什么方法来验证？

生1：可以把4 次成绩加起来，再除以4，看看是不是152cm。

生2：还可以用移多补少的方法来计算。

师：怎样移多补少呢？

生答略。

师：这种方法真好，快速地验证了芳芳跳4次的平均成绩。你们能用这种方法得到明明跳4次的平均成绩吗？

学生思考了片刻后，觉得有点困难。这时教师提出：那请大家用先加再除的方法来算一算明明跳4 次的平均成绩好吗？

学生独立计算后，教师板书：（138+140+198+136）÷4=153（cm）。

评析：以上环节教师先巧妙地向学生提出问题，引发学生再次总结，要验证“152cm”是不是芳芳跳4 次的平均成绩，可以用计算 “总数量÷次数”的方法，也可以采用直接对数量进行移多补少的方法。 因为这两种方法的本质都是移多补少，对于芳芳这组数教师特意突出了直接用移多补少的方法后，接着又向学生提出：你们能用移多补少这种方法得到明明跳4 次的平均成绩吗？当学生感到困难时，再让学生列算式计算，其计算结果还可以为以下的教学环节提供素材。

3．比较平均数。

师：现在我们把明明、芳芳两位同学4 次跳远的成绩和平均成绩画成条形统计图（投影出示图5），请大家思考：如果比赛时跳1 次决定胜负，你觉得选谁去成绩可能会更好？为什么？

图5

学生分小组讨论后，再组织集体交流。

生1：我觉得应该选明明去。

师：为什么？

生1：因为明明4 次的平均成绩是153cm，比芳芳要高。

师：有道理，但也高不了多少，只高了1cm。你们还有什么想法吗？

生2：我觉得应该选芳芳去，因为明明只有1次跳得比较好，而3 次跳的成绩都比较低，所以选明明去不保险。

师：你说的也有道理，选明明去有点不保险。

生3：我觉得还是选芳芳去比较好，因为芳芳4 次跳的都与平均数很接近，所以选她去跳出成绩是152cm 的可能性是很大的。

生4：我觉得选明明去也可以，毕竟明明有1次成绩很好，说明他有爆发力，让他去赌一把吧。

师：我们在前面分析芳芳汇报的成绩时，知道平均数可以反映一组数的一般水平，本来就用他们的平均成绩来选就可以了，那为什么现在会出现这样的争议呢？

生：因为明明的4 次成绩太特殊了，有1 次特别高，其余3 次又很低，所以这样的平均成绩很难说明他的一般水平。

师：说得真好。实际上，平均数通常可以衡量一组数据的一般情况，但也容易受到特殊数据的影响。

接着教师又向学生提出：现在军军跳了2次，成绩分别是162cm、142cm，那他这2 次的平均成绩是多少？

生：也是152cm。

师：如果从军军和芳芳两位同学中选出一位，同样也是跳一次决定胜负，你觉得应该选谁？

学生先根据图6 分组讨论后，再集体交流。

图6

生1：我觉得还是选芳芳去。因为芳芳跳了4次的平均成绩是152cm，而军军只跳了2 次，平均成绩是152cm，所以选芳芳去比较保险。

生2：因为军军只跳了2 次，平均成绩与芳芳是一样的，军军接着跳，成绩可能会更好，所以我选军军去。

生3：我不同意……

师：是呀！为什么军军和芳芳的平均成绩一样了，你们还会出现争议呢？

生：因为军军只跳了2 次，而芳芳跳了4 次。

师：这说明跳的次数越多，平均数越能准确地反映这组数的一般水平。

评析：我们知道，一组数的平均数容易受极端数据的影响，这也说明一般情况下样本的数据越多，平均数越能准确地反映这组数据的一般水平。但这些道理要让四年级学生在第一次课时就完全理解是不可能的，而我们创设以上的质疑素材，只是让学生达到初步的领悟。从以上教学中可以看到，我们已经达到了目的。