螺栓结合部切向动力学行为辨识方法*

郑华林， 徐 林， 胡 腾， 王 辉

(1. 西南石油大学机电工程学院 成都，610500) (2.四川普什宁江机床有限公司 都江堰，611830)

引 言

机械系统通常由多个部件通过不同的联结方式组合而成，部件之间相互联结的部位称为“结合部”。研究表明[1]，结合部动力学表现为柔度与阻尼特性，对机械系统整机服役性能有着重要影响。其中，结合部柔度约占机械系统总柔度的60%～80%，其阻尼约占机械系统总阻尼的90%以上。螺栓联结作为固定结合部的典型代表，在机械系统中分布最广，数目最多，对其动力学特性进行研究有利于进行机械系统整机动力学精准建模，可为系统装配工艺优化提供关键理论依据，具有重要的科学意义与工程价值。

针对结合部动力学建模方法，Iranzad等[2]将结合部视作虚拟薄层弹塑性材料，基于虚拟材料模型在不同的负载水平下进行了响应计算与测试，对比验证了所提建模策略能准确表征机械结合部非线性力学行为。文献[3-4]利用一系列弹簧-阻尼单元对机械结合部进行了等效，重点研究了结合部的柔性本质。田洪亮等[5]在利用虚拟材料模型研究结合部动力学特性的同时，提出了材料各向同性的假设，并通过增加一个元件可将含结合部的复杂部件等效为不含结合部的简单零件。李奇志等[6]提出了有效接触面积刚性连接建模方法，解决了现有方法存在虚拟材料本构关系复杂辨识问题。

目前，结合部动力学行为辨识已成为机械系统整机动力学精准建模过程中亟待解决的关键问题。为此，笔者以螺栓结合部切向动力学特性为研究对象，以理论与实验相结合为研究手段，基于子结构综合法[14]推导螺栓结合部切向动力学行为辨识基本方程。在此基础上，求解结合部切向动刚度，并联合奇异值分解[15]及最小二乘法对结合部切向等效动力学参数进行优化辨识。通过物理实验对所得参数进行验证，最终形成较完备的螺栓结合部切向动力学行为辨识方法体系。

1 螺栓结合部切向动力学特性

1.1 螺栓结合部切向等效动力学模型

螺栓结合部属于“柔性联结”，在外载荷作用下，其接触面会产生多自由度阻尼微幅振动，使得结合部表现出既能储存能量又能消耗能量的特性。因此，在忽略结合部质量的情况下，可将螺栓结合部视作一系列与子结构刚性连接的弹簧-阻尼单元，进而可建立如图1所示的螺栓结合部切向等效动力学模型。其中：i，n和c，j分别表示子结构1和2的非结合部和结合部区域。

图1 螺栓结合部切向等效动力学模型Fig.1 Equivalent tangential dynamic model of bolt joint

1.2 基于频响函数的子结构综合法

定义子结构1和2为时不变定常线性系统，故在未装配状态下其输入(激励)f与输出(响应)x之间的关系为

(1)

(2)

其中：H为子结构频响函数矩阵；上角标(1)和(2)分别对应子结构1和2。

考虑到结合部与子结构间为刚性连接，故其力平衡条件为

(3)

依据动力学基本方程可得

(4a)

(4b)

其中：Ha与Za分别为结合部频响函数与动刚度，亦即螺栓结合部动力学行为频域表征；ω为角频率；j为虚数单位；m为结合部弹簧-阻尼单元组数。

将式(1)、式(2)式带入式(4a)中可得

(5)

将式(3)式带入式(5)可得

(6)

其中

(7)

同理可得

(8)

联立式(1)，(2)，(6)，(8)可得

(9)

(10)

面向子结构1，2及结合部三者的装配体，其动力学基本方程为

x(3)=H(3)f(3)

(11)

其中：上角标(3)表示装配体。

设子结构结合部与非结合部区域的响应与激励在装配前后保持不变，即

则式(11)可以改写为

(12)

由式(9)、式(10)和式(12)可得

(13)

2 螺栓结合部等效动力学参数辨识

将式(13)写作如下统一形式

(14)

其中：Hα为装配体与子结构频响函数之间的关系；Hβ及Hλ为子结构的频响函数；He为动刚度特性与子结构之间的关系。

令

(15)

式(14)可以表示为

Hα=HβL

(16)

有

(17)

式(15)可改写为

L=(He=Za+Hjj(2)+Hcc(1))-1Hλ

(18)

借助奇异值分解法变换得

(19)

基于式(19)将等式的实、虚部分离开，令

则式(19)的通式为

(k+jωc)(A+jB)=Q

(21)

按实、虚部相等的原则，式(21)可等价为

(22)

由于频响函数有多个频率点，故对应多个k和c。假设频率分析点数为n，则式(22)可写改写为

(23)

其最小二乘解为

(24)

利用上述辨识结果构建螺栓结合部切向动力学数值模型，计算测点频响函数，并将其与实验结果进行对比，以验证所提方法的准确性。因此，螺栓结合部切向动力学行为辨识过程可最终表达为如图2所示的技术路线。

图2 螺栓结合部切向动力学行为辨识技术路线Fig.2 Technique flowchart for bolt joint tangential dynamic behaviors identification

3 计算实例与实验验证

按照图2所示技术路线，以某螺栓结合部为研究对象，对其切向动力学行为进行辨识。

3.1 子结构频响函数计算与验证

子结构基本尺寸及材料属性如表1所示。基于Timoshenko梁理论[16]及Hamilton方程[17]，同时借助有限单元法[18](finite element method, 简称FEM)构建子结构动力学模型，并针对其正确性予以实验验证。以子结构B为例，所建动力学模型如图3所示。分别计算点3，4位置的频响函数，进而利用模态锤击实验对计算结果进行验证。

图4所示为子结构B跨点频响H34计算值与实验值对比，可见两曲线吻合程度很高，在特征峰1和2处，对应频率误差分别为0.49%和0.99%，对应幅值误差分别为1.35%和3.27%。此外，子结构B点3和4位置原点频响函数H33和H44计算值与实验值误差亦很小，说明所提子结构动力学模型构建方法及频响计算结果具有较高准确度。

类似地，利用上述方法对子结构A进行动力学建模，计算测点1和2位置(如图5(a)所示)频响函数并予以了实验验证。

表1 子结构基本尺寸及材料属性

Tab.1 Basic dimensions and material propertiesof substructures

参数子结构A子结构B材料合金钢铸铁长度/mm450450宽度/mm6464厚度/mm3030材料密度/(kg·m-3)7 8507 300弹性模量/GPa206130泊松比0.30.25

图3 子结构B及其有限单元模型(单位：mm)Fig.3 Substructure B and its FE model (unit:mm)

图4 子结构B频响H34Fig.4 Substructure B FRF H34

3.2 装配体频响函数测试

利用M16高强度螺栓对子结构A和B进行联结，预紧力矩为50 N·m，基于DEWESoft振动测试系统对该装配体进行模态锤击实验，测点位置与子结构动力学建模过程中保持一致，如图5(a)所示。

实验平台搭建如图5(b)所示，测试频率范围为0～5 kHz，采样频率取12.8 kHz。

图5 锤击模态实验Fig.5 Impact modal test

考虑到实验现场环境噪声的干扰，对装配体同一激振点锤击4次，并取4次信号平均值以提高信噪比。通过数据采集前端激励与响应信号，获得装配体切向1，4位置原点及跨点频响函数H11，H14和H44。测试过程相干总体较好，局部存在突变。如图6所示为H11测试结果及其相干函数(相干函数无量纲，取值范围为0～1)，虽在3 700 Hz左右相干发生突变，但对应着结构响应反共振特征，故总体而言仍显示出频响实测数据具备高可信度。

图6 装配体频响H11及其相干Fig.6 Assembly structure FRF H11 and its coherence

3.3 螺栓结合部切向动力学行为辨识与验证

3.3.1 螺栓结合部频响特性辨识及验证

图7 结合部频响H32Fig.7 Joint FRF H32

将3.1和3.2节所得数据带入式(19)即可得螺栓结合部动刚度特性。由于结合部动刚度与其位移频响函数互逆，故通过结合部频响曲线亦可直观反映结合部动刚度特性。借助图5(b)中的实验平台提取测点2，3位置切向频响函数H32，并与计算值进行对比，如图7所示。特征峰1，2对应频率误差分别为0.87%，1.32%；对应幅值误差分别为3.42%，9.08%。表明所提基于频响函数的子结构综合法可有效，能准确地辨识螺栓结合部切向动力学特性。

3.3.2 螺栓结合部等效动力学参数辨识与验证

通过式(24)对螺栓结合部切向等效动力学参数进行最小二乘优化辨识，结果如表2所示。利用所得参数建立螺栓结合部切向动力学数值模型，并在此基础上计算装配体频响函数H11，H11计算值与实验值对比如图8所示。

表2 等效参数辨识结果

图8 装配体频响H11Fig.8 Assembly structure FRF H11

可以看出，装配体频响H11计算值与实验值吻合程度较高，特征峰1，2和3对应频率误差分别为1.38%，1.51%和0.84%。然而，图8亦显示出装配体频响H11计算值与实验值在幅值方面存在较显著误差，表明螺栓结合部等效动力学参数数辨识精度存在一定差异。由于频响函数特征峰的频率与幅值分别取决于结构刚度与阻尼，说明螺栓结合部切向等效刚度的辨识较精确，而等效阻尼的辨识精度仍有较大提升空间。究其原因，主要在于现阶段对机械系统阻尼特性研究还不完善。尽管如此，图8中特征峰1对应幅值误差仅为1.69%，说明等效阻尼辨识结果对于讨论装配体第1阶主模态附近的动力响应已具备足够精度。因此，所提螺栓结合部切向动力学行为辨识方法切实可行，结合部切向等效动力学参数辨识结果可直接用于精准建立机械系统装配体动力学数值模型，且在频率及低阶响应层面具有足够的计算准确度。

4 结束语

面向螺栓结合部切向动力学行为提出了一套较完善的研究方法体系。以理论与实验相结合为研究手段，基于子结构综合法对螺栓结合部切向动力学特性进行了理论推导，沿用优化设计的思想，借助最小二乘法辨识了螺栓结合部切向等效刚度与阻尼。利用所得参数构建了螺栓结合部切向动力学数值模型，据此计算了相关测点频响函数并与实验测试值进行了对比。结果表明，频响函数特征峰对应频率误差分别为1.38%，1.51%和0.84%，特征峰1对应幅值误差为1.69%。验证了所提方法体系能有效辨识螺栓结合部切向动力学行为，优化所得切向等效刚度具有较高精度，等效阻尼辨识精度有待提高，但对于分析结构低阶动力响应已具备足够精确性。