全方位审视反比例函数

☉江苏省宜兴市新街中学 屠 萍

函数是初中数学“数与代数”中最难的一部分，它既是一个数学概念，又是一种数学思想，它与数、式、方程、不等式有所不同，数、式、方程、不等式是研究数量关系的，而函数是研究变量关系的，掌握函数不仅可以加深对代数式的理解，而且函数也使得方程与不等式联系在了一起，使整个数学知识建立了有机的联系，同时函数知识是初中和高中知识的衔接部分，是中考的重要考点，初中阶段学习了三类函数，分别是一次函数、二次函数、反比例函数，其中反比例函数因其图像与性质比较特殊，需要学生全方位审视理解它.

一、全面理解反比例函数的概念

例1函数y=（m-2）x3-m2是反比例函数，则m的值是多少？

分析：根据反比例函数的另一种形式y=kx-1（k≠0），可得到m的值.

解：由y=（m-2）x3-m2是反比例函数，得3-m2=-1且m-2≠0，解得m=-2.

点评：本题重点考查了反比例函数的另一种形式y=kx-1（k≠0），它与反比例函数一般形式的重要区别是一个右边是乘积式，另一个右边是分式，也就是说，当已知一个右边是乘积式的函数是反比例函数时，自变量的指数应为-1.

二、全面观察反比例函数的图像

例2 如图1，边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y=与y=的图像均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之和是多少？

图1

图2

分析：在两个反比例函数中，｜k｜相等，所以这两个双曲线的形状相同，再根据双曲线的对称性可将阴影部分拼合在一起形成规则图形，然后求面积.

解：如图2，因为反比例函数y=与y=中，｜2｜=｜-2｜，所以这两个双曲线的形状相同.因为每个双曲线均是一个中心对称图形，正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，所以每个象限内图形的形状都相同，所以将第二象限的图形绕原点旋转90°后，阴影部分1与空白4重合，将第四象限内图形绕原点旋转90°后，阴影部分2与空白3重合，所以阴影部分的面积之和=两个小正方形的面积=4+4=8.

点评：对于不规则图形的面积，第一种方法是通过分割或添补变为一个或几个规则图形的面积；第二种方法是通过图形变换如平移、轴对称或旋转，拼合成一个规则图形.这是初中阶段求阴影面积常用的方法.欲对双曲线形成的阴影图形进行拼合，须比例系数｜k｜相等，欲对抛物线形成的阴影图形进行拼合，需二次项系数｜a｜相等.

三、深刻解读反比例函数的性质

分析：已知两个点不在同一象限，应根据跨越象限时的性质去确定比例系数的符号，从而确定m的取值范围.

解：由x1＜0＜x2，得点A（x1，y1）、B（x2，y2）在两个不同的象限.

由当x1＜0＜x2时，y1＜y2，得1+2m＞0，解得m＞-.

点评：对于反比例函数的增减性，不仅与比例系数的符号有关，而且与所取的两个点是否在同一象限有关.在解答时，也可以采用尝试法，因为反比例函数图像的位置只有两种：在第一、三象限或在第二、四象限，若尝试一种不可以，肯定就是另一种了.

四、牢固掌握比例系数k的意义

图3

图4

例4 如图4，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1=（x＞0）及y2=（x＞0）的图像分别交于点A、B，连接OA、OB，已知△OAB的面积为2，则k1-k2的值为（）.

A.2 B.3 C.4 D.-4

分析：根据反比例函数中k的几何意义，可得△AOP的面积、△BOP的面积，根据这两个三角形的面积差就是△OAB的面积，可求得k1-k2的值.

解：根据反比例函数中k的几何意义，得△AOP的面积为，△BOP的面积为，则△AOB的面积为又△OAB的面积为2，则=2，则k1-k2=4，故选C.

点评：上述解法是根据反比例函数中k的几何意义求得的，也可以利用反比例函数中k的代数意义求得，如设点则x1=x2，则OP=x1.因为△OAB 的面积为2，所以AB×OP=2，即，解得k1-k2=4.从这里可以看出反比例函数中k的代数意义与几何意义同根同源，几何意义更直观，代数意义更精确.

反比例函数是初中学习的重要函数，它的图像与性质的特殊性，决定了运用它解决问题时要格外谨慎，加强与一次函数的联系与比较，会使得对这两类函数掌握得更好.全方位审视反比例函数，才能深刻理解它的概念、图像与性质，才能在考试中应对各种变化.