二阶微分方程初探

李红岩

【摘要】在十八世纪，数学家在用微积分解决物理问题时，发现某些比较困难的问题用初等函数来计算积分已经远远不够，这样微分方程就应运而生。有几类物理问题激发了微分方程的研究，其中对弹性理论也就是一个物体在外力作用下的形状问题的研究对微分方程的发展起到了很大的推动作用。其中伯努利父子以及泰勒和欧拉更是其中的的佼佼者。

【关键词】二阶微分方程;伯努利;欧拉;里卡蒂方程

早在十七世纪末，詹姆斯.伯努利在研究船帆风力状态下的形状问题时，提出了一个二阶方程d2x/ds2=（dy/ds）3，这里s为弧长。随后约翰.伯努利在微积分的教科书中处理了这个问题，并且证明了这个方程在悬链线问题上的数学一致性。

二阶微分方程在讨论弹性振动弦的形状问题上也得到了运用，比如论证小提琴弦的振动形状。泰勒在研究一个古老问题时也用到了这个主题。毕达哥拉斯的追随者在数学以及音乐的研究中也一直在运用二阶微分方程。贝内代蒂（Giovanni Battista Benedetti）、贝克曼（IsaacBeeckman）、梅森、笛卡尔、惠更斯和伽利略也在研究二阶微分方程方面有各自的杰出贡献。一根弦在振动时有许多种模式，那么如果把一根弦分成k部分，它在振动时所产生的音是第k谐音或是第k-1泛音。这些信息很大程度上都是通过索佛尔（Joseph Sauveur，1653—1716）的实验在18世纪初就已经被英国人所熟知。

泰勒推导出了一根振动弦的基频，并且解出了方程a2x=syy′，这里s=x2+y2，微商是把时间看做是自变量，他还给出了方程y=Asin（x/a）来刻画弦在任何时刻的状态，其中a=l/π，l表示弦的长度。泰勒关于振动弦的基频公式就是我们现在见到的v=12lTσ（T为弦的张力，σ=m/g，m是单位长度的质量，g是重力加速度）

约翰.伯努利在研究振动弦问题时，1727年曾经给他的儿子丹尼爾.伯努利的一封信中提出了无重量的弹性弦这个概念;1728年欧拉开始考虑研究二阶微分方程，他在他的力学研究中对这个问题产生了兴趣，他在对阻尼介质中的运动进行研究时就用到了二阶微分方程。欧拉还在空气对投射体的阻力影响的研究中讨论了一类二阶微分方程，他利用变量替换把这类二阶微分方程转化为一阶微分方程。也就是方程axmdxp=yndyp-2d2y或者它的微商形式的方程（dydx）p-2d2ydx2=axmyn。欧拉通过变量替换y=evt（v），x=eαv引入新的变量t和v，其中α是待定的常数。而x和y是关于v的参数方程，这样就可以计算dy/dx和d2y/dx2，这样带入上述的二阶微分方程就可以得到v作为自变量t作为函数的一个二阶方程，然后通过固定α从而消去指数因子，再通过变量替换z=dv/dt，二阶微分方程就转化给一个一阶微分方程。

丹尼尔·伯努利以一篇题为《关于用柔软细绳联结起来的一些物体以及垂直悬挂的链线的振动定理》中提出，上端固定的悬链线，在没有重量但带有等间隔的重荷条件下，当线振动时，质点可以通过悬挂点的垂线做不同振幅的振动，这些振动的重荷都有各自的特征频率。对于一定长度的均匀的悬链线，丹尼尔.伯努利给出了从最低点x到位移y的微分方程αddx（xdydx）+y=0，这个方程的解是一个无穷级数，这个方程的解在现在的教科书中表示为y=AJ0（2xα），其中J0是零阶的贝塞尔函数Jn（x）=（x2）n∑∞k=0（-1）k（x/2）2kk！（k+n）！（n是正整数或0），其中α满足J0（2lα）=0，其中l代表悬链的长度，丹尼尔.伯努利断定上述方程有无数个根，并且这些根会越来越小并趋于零，他还求得了α的最大值，而每一个α值都对应着一个振动模式和一个特征频率。他在弦的振动谐音以及高阶模式的研究上超过了前辈。在关于悬链线的论文中，丹尼尔讨论了非均匀的振动链，在论文中他引进了微分方程αddxg（x）dydx+ydg（x）dx=0，其中g（x）=（x/l）2，他求解了这个微分方程的级数解，我们现在可以把它写成y=2A（2xα）-12J1（22xα），其中J1（22lα）=0，J1是第一类一阶的贝塞尔函数。

不难看出，丹尼尔的解答中有两处失误：第一，他没有指出位移s是时间t的函数，所以，他在数学上的研究就停留在常微分方程的范畴;第二，他没意识到所研究的简单运动模式可以叠加成复杂运动。在丹尼尔完成了一篇以乐声为主题的论文《建立在谐振原理基础上的音乐理论的研究》之后，欧拉紧随其后，以一篇题为《关于带有任意多个重量的柔软细绳的振动》推导出了和丹尼尔相仿的结论，只不过欧拉在丹尼尔研究的基础上，对数学问题的掌握和推导更精细，表达的数学结论也更精确。对于重力正比于xn的特殊情形，欧拉推导出的方程为xn+1d2ydx2+dydx+yα=0，欧拉推导出的级数解Lv（z）=∑

SymboleB@ n=0（z/2）v+2nn！Γ（v+n+1），我们现在的表达式为y=Aq-n2In（2q），q=-（n+1）xα，由于n是任意的常数，所以欧拉就引进了任意实指数的贝塞尔函数，他还推导出了用积分表示的解y= A∫10（1-t2）（2n-1）/2cosh2t（n+1）xαdt∫10（1-τ2）（2n-1）/2dx。这应该是二阶微分方程的解用积分表示的最早结果。

参考文献：

[1]Phil.Trans.Abridged，6，1809，712，1417.

[2]Comm.Acad.Sci.Petrop.，3，1727，124137，pub.1732=Opera，（1），22，114，Opera，（3），1，197427.