积分型Cauchy中值定理“中间点”的渐近性

刘红玉

微分中值定理和积分中值定理是微积分理论的最主要内容.近年来，对于中值定理“中间点”渐进性的研究，得到了一些重要结果［1-7］.文献 ［1］ 利 用 辅 助 函 数推广了 Cauchy中值定理，得到了一个广义积分形式并对该定理中中间点ξ的渐近性进行了讨论.文献［2］利用Taylor多项式，把微分中值定理和积分中值定理进行了统一，并得到了一些更一般的结果.文献［3］通过对广义Cauchy中值定理的研究与讨论，得到了广义Cauchy中值定理“中间点”渐进性的结果，并进行了一些推广.文献［4］对一类积分型中值定理做了进一步的研究，减弱了定理的条件并加强了定理的结论，得到了一个更加一般的结果，并对该定理“中间点的渐进性”做了讨论，推广了已有的成果.文献［5］对一类积分型Cauchy中值定理做了进一步的研究，得到了一个更加一般的结果，并对该定理“中间点的渐进性做了讨论 ，推 广 了 已 有 的 成 果文献［6］研究了广义的Cauchy型Taylor公式中间点的渐近性.得到了广义Cauchy型Taylor公式“中间点”渐进性的两个表达式.文献［7］研究了广义的Cauchy型Taylor公式中中值点的渐近性，得到结果

本文通过构造辅助函数H(x)=在已有结果的基础上，研究了广义积分型Cauchy中值定理中间点ξ的渐近性，得到了中间点ξ的渐近性表达式为并进行了推广，得到更一般的结果，即中间点ξ的渐近性 表 达 式 为

1 预备知识

引 理 1［7］若 ①f(k)(x)(k=1,2,…,n)与g(k)(x)(k=1,2,…,m)在a的某邻域U(a)内连续；②f(n+1)(x)与g(m+1)(x)在U(a)内存在，且∀x∈U(a),g(m+1)(x)≠0，则至少存在一点ξ，使得ξ介于a与x之间.

定理1若f(x)与g(x)在a的某邻域U(a)连续；对∀x∈UO(a),g(x)≠0，则对∀n,m∈N且n≥m，至少存在一点ξ，使得介于a与x之间.

同理，

将以上式子代入引理1，得

2 主要结果

定理2若f(x)与g(x)在a的某邻域U(a)连 续 ，存 在α≥0,β≥0 ，且 ∀x∈UO(a),有，则由引理1所确定的“中间点”ξ满足

证明 构造辅助函数H(x)=由 于f(x)与g(x)在a的某邻域U(a)连续，利用积分上限函数的求导公式，连续使用n+1次洛比达法则可得

连续使用m+1次洛比达法则可得

由（2）式、（3）式得

另一方面，

定理3若f(x)与g(x)在a的某邻域U(a)连续；对，且φ(x)在a的某邻域U(a)严格单调递增，存在不等于零，又存在α≥0,β≥0，∀x∈UO(a),有A≠0 ，， 则 对∀n,m∈N且n≥m，由引理1所确定的“中间点”ξ满足

3 结论

本文通过构造辅助函数，研究了广义积分型Cauchy中值定理中间点的渐近性，得到了“中间点”ξ满足的两个主要表达式.