荡秋千的力学原理

2019-10-25林引春林辉庆

物理教学探讨 2019年9期

林引春，林辉庆

1.浙江省临海市大田中学，浙江台州 317004

2.杭州市余杭高级中学，杭州 311100

1 秋千简介

秋千的起源，可追溯到几十万年前的上古时代。那时，我们的祖先为了谋生，不得不上树采摘野果、追猎或逃避野兽。在攀登和跨越中，他们往往抓住粗壮的蔓生植物，依靠藤条的摇荡摆动上树或跨越沟涧，这是秋千最原始的雏形。“秋千”的本意即为揪着绳子迁移。后来作为人们健身和游戏的设施，演变为在木架或铁架上系两根长绳，下端固定一块底板。

秋千设备简单，荡秋千容易学习，老少皆宜。荡秋千既能锻炼身体和意志、增强动作协调性，又能陶冶心情、营造娱乐氛围，是很流行的健身和游戏活动。在中小学、幼儿园和公共活动场所，秋千均十分常见。由于荡秋千在少数民族地区尤为盛行，1986年开始它被列为全国少数民族体育运动会正式比赛项目。

荡秋千方式多样，可以一人荡，也可以两人甚至更多的人一起荡；可以坐着荡，也可以站着荡或用其他动作荡；可以是别人推动着荡，也可以通过自身动作荡。通过自身动作荡秋千需要技巧，根据经验，动作要领是在秋千向下摆时迅速改变身体姿势使重心下降，向上摆时迅速改变身体姿势使重心上升。例如，荡秋千的人手拉摆绳站在底板上，向下摆时下蹲，过最低点后向上摆时站起，就能使自己越摆越高。下面分析通过自身动作荡秋千的力学原理。

2 物理模型

荡秋千的运动过程和能量转化过程十分复杂，我们以上述人站在底板上荡秋千的情况为例，先建立理想化模型，然后通过对理想化模型的分析，弄清荡秋千的力学原理。

为了避免由于摆动过程中摆绳弯折带来的复杂性，我们用一根不计质量和伸缩的摆杆代替摆绳。设人的质量为m，底板的质量远小于人的质量而忽略不计。荡秋千过程人的大小和形状不能忽略，计算人绕悬挂点O转动的动能十分复杂，但可以将人的质量等效地集中于一点。这一点一般不与重心重合，不过为了简化定量分析，我们将它等同于重心，这不会影响问题的结论。

将人在下摆时下蹲的过程，理想化为摆杆在最大偏角时人瞬间下蹲，然后保持姿势不变摆到最低点。将人向上摆动时站起的过程，理想化为人在最低点时瞬间站起，然后保持姿势不变摆到最高点。忽略运动过程中人、杆受到的空气阻力和摆杆在悬挂处与固定物间的摩擦。

整个荡秋千运动过程的模型如下：如图1所示，摆杆在左侧最大位置时与竖直方向的夹角为θ0，人的重心位于a点，与悬点O的距离为l。此时人瞬间下蹲，重心沿杆向下移动Δl距离到达b点。然后人保持姿势不变下摆到最低点，获得速度v。此时人瞬间站起，重心向上移动Δl从c点上升到d点，速度变为v'。接着人保持姿势不变，摆到右侧最高点，重心位置为e，摆杆偏离竖直方向的角度为θ1。接着重复上述动作，重心沿e→f→c→d→a'到达最左侧。

图1 荡秋千模型

3 摆角变化

重心从a到b的过程，人在初、末状态的动能均为0。

对重心从b到c的过程，由机械能守恒定律有

对重心从c到d的过程，人们常错误地认为人在初、末位置的速度相同。其实，在这个过程中，摆杆悬挂点受到的约束力R和人受到的重力G对悬点O的力矩都等于0，人、底板和摆杆组成的系统角动量守恒，从而有

所以有 v'＞v

对重心从d到e的过程，由机械能守恒定律有

可以看出，θ1＞θ0

同理可得，人的重心沿e→f→c→d→a'摆到左侧，摆杆的最大偏角 θ2＞θ1。如此反复，秋千就越摆越高。

4 能量转化

秋千越荡越高，摆动系统的机械能不断增大。那么，摆动系统增加的机械能来自哪里？

考虑机械能时，应该以摆杆、底板、人和地球为摆动系统。在前述理想的情况下，系统受到的外力只有摆杆悬挂点受到的约束力R；重力G是保守内力，人身体中各部分之间的相互作用力是非保守内力。由功能原理知道，摆动系统机械能的变化等于外力做的功与非保守内力做的功之和。约束力R始终不做功，人在蹲下和站起过程中人的内力做功。我们把人从一侧的最大偏角处摆到另一侧的最大偏角处叫作一次摆动。下面计算在一次摆动中人的内力做的总功。

重心从a到b的过程，人的内力做负功，所做的功W人1等于人的重力势能的变化，即

W人1=-mgΔlcosθ0

重心从c到d的过程，人的内力做正功，所做的功W人2等于人的机械能的变化，即