关注识图能力，提高复习效率

南京东山外国语学校 罗素云

九年级下学期伊始，我校进行了一次调研，主要意义有两方面：一是三年的新课全部结束，对综合教学效果进行评估，二是为第一轮复习的教学提供必要的数据分析和策略指导。因此，结合本次试卷当中出现的几何证明问题做了一点思考，与读者共享。

一、学生答题情况简析

例题：如图1，等腰三角形ABC中，AB=AC，中线BD和CE相交于点F。求证：

（1）∠ABD=∠ACE；

（2）过点A，F的直线垂直平分线段BC。

图1

图2

分析：第（1）题通过证明△ABD≌△ACEC(SAS)即可，属于基础知识和基本能力范围，第（2）题则异彩纷呈，方法较多，通过全年级试卷的批改，发现学生的证法主要有以下四种：

证法1：如图2，由三角形三条中线交于一点的性质，连接AF并延长交BC于点H，得出AH也是BC的中线。

证法2：证了四次全等，先证△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，BD=CE，再证△BEF≌△CDF，△AEF≌△ADF，前三次全等都是为了第四次全等准备条件，最后才有△ABH≌△ACH,得出AF垂直平分BC。

证法3：通过证明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，BD=CE，再得到∠FBH=∠FCH，根据等角对等边，则有FB=FC，根据边角边，进而证明△ABF≌△ACF,得到AF平分∠BAC,再由等腰三角形三线合一的性质，得出AF垂直平分BC。

证法4：通过证明FB=FC,且AB=AC,由线段垂直平分线的判定方法，得出AF垂直平分BC。

错因分析：

（1）信息加工偏差，导致目标不明确。部分学生目标指向不明确，信息加工指向需证明多次全等，说明这部分学生有思维定势，不能灵活识别出图中还有等腰三角形、线段的垂直平分线，绕了弯路，虽然方法正确（比如证法2），但是浪费了很多时间，使后续题目的解决增加了紧张的情绪，无法静心做后面的能力题。

（2）课本定理和真命题混淆。部分学生把“三角形三条中线交于一点”作为定理，直接在证明过程中使用，学生没能弄清楚课本上的定理性质有哪些，一些性质虽然是经过探索、发现的新结论，却不可以作为定理在解题中直接使用(比如证法1)。在教学中，定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，它的逆命题是真命题，却不可以用来判定直角三角形。所以对于这些易混淆的定理和真命题，要反复强调。

（3）没有学会分析和综合的思考方法。在解题过程中，灵活运用分析法和综合法能降低解题难度，提高解题速度。本题需要证明线段的垂直平分线，那么应该联想到垂直平分线的判定，判定的条件是什么，然后再看证明这两组线段相等需要什么（比如证法4）。不仅要由已知想可知，还要善于由未知找需知，教学中，教师应引导学生从多角度观察图形，善于把复杂图形分解为基本图形，不断提高学生发散思维和演绎推理能力。证法3 属于一般的思路，学生容易想到。

二、 结合学生的答卷情况作出教学调整

1.重视对数学思想方法的教学

在学业水平考试与中考命题建议中，明确要求关注学生核心素养的达成，考查学生的思维力。近年来的中考试卷对平面几何的考查中，对数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养的考查也是各地中考命题的热点，数学作为研究思维的学科，培养学生的思维能力，平面几何的教学是推动思维发展的第一载体，数学知识作为一个显性载体，数学思想隐含于图形性质的考查之中。本文的第一个案例考查了几何直观、转化与划归的数学思想。

傅种孙先生指出“平面几何的教学不在知其然，而在知其所以然，几何的教学在于启发学生，示以思维之道尔”。学生在平时的思考中也暴露了几点问题：思维混乱、选择性矛盾。教师可以在几何学习的过程中引导学生有序思考，择优而入，按照一定的逻辑规律展开思考，抓住问题的主要矛盾开展一系列探究，在一题多解时，根据实际情况分析哪一种方式更简捷。

2.重视对数学基本概念和定理的教学

目前平面几何的学习存在一个现状，就是学生对基础知识的概念和定理的引入一知半解，仅仅停留在用概念和定理来解题的层面，当条件发生变化时，学生就不能分析出有关的概念和所能用的定理。比如本文中的第一个案例，学生不能分析图中可以使用等腰三角形“三线合一”的性质或者垂直平分线的判定。在平面几何概念的教学中，数形结合可以帮助学生直观理解概念，生活实际可以帮助学生经历知识建构过程。数学概念之间也存在横向联系和纵向联系，比如《四边形》这一章，平行四边形、矩形、菱形、正方形，若从横向比较，各种概念的形成和判定与性质的区别与联系，若从纵向比较，彼此之间有一般到特殊的关系。再比如《圆》一章的内容可以分为三块，一是与圆有关的概念，从线段、曲线、角的角度来定义相关概念，二是研究直线与圆的三种位置关系，推理证明了圆周角定理，切线的判定与性质，三角形的外接圆、内切圆，切线长定理，有一定的系统性与连贯性，三是与圆有关的计算问题，与圆有关的正多边形的计算问题，三角形或四边形与圆相交产生的线段的计算。

3.用好学生的错题资源

关注学生对当前知识点的认识程度，在会而不对的学生中去体会他们的思维过程和障碍。我经常在学生做练习时进行巡视，体会他们的问题所在点，然后改善自己的教学策略，及时对一些学生给予知识方面的巩固和方法的指导。在一轮专题复习时，可以采用典型的错题复习重要知识点，在易混淆处可以采用小组讨论，引导他们归纳错误的原因，以加深对知识点的理解。也可以用类比的思想方法展示给学生看，然后归纳总结。在平时的讲义中，充分运用错题来检查学生是否掌握牢固，强化中考考点。

4.渗透研究几何与图形的一般规律，为学生过渡到高中几何的学习打好基础

在高中学习阶段，图形的研究从平面图形过渡到空间图形，从二维到三维转化，但是研究空间图形的方法又是转化为平面图形的研究方法。在能力要求方面，对于证明和计算，立体几何初步的要求是不高的，但是对于解析几何的要求比较高，也就是说在初中阶段要加强平面几何的计算的要求，包括抛物线有关的计算。另外，在培养能力方面，注重能够培养和形成的主要几何学习能力和思想方法，尤其是几何直观和数学运算。