妙用圆巧解线段最值问题

2019-10-25江苏省镇江科技新城实验学校赵妍珊

数学大世界 2019年27期

关键词：动点圆心定点

江苏省镇江科技新城实验学校赵妍珊

该类问题看似是与圆无关的几何最值问题，但是可以运用圆的定义找出圆的模型。因此该类问题的关键就变成了找动点的运动轨迹，使得问题虽然没有圆出现，但是却胜过有圆，以此运用构造法构造出圆，从而提升学生的解题能力。

一、定长定点找圆

根据教材对圆的定义可知，平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆。根据上述定义，只要能够找到某一动点在移动时与同一定点的距离相等，即找出了以定点为圆心，以定长为半径的圆，再利用圆外一点和圆上一点的距离求出最值问题。

例1：如图1，在边长为2 的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值为多少？

图1

图2

反思：上述例题看似很复杂无处下手，但是仔细审视题目可以发现动点N与不动点M之间的长度为定值，由此根据圆的定义得到“隐形圆”，在确定圆的圆心和半径后，就可以根据所求问题适时作辅助线。因此学生在面对该类问题时可以首先考虑题目中是否有隐含条件，如果有就可以在途中作出来，再观察题目求解线段的最值。

二、定弦定角找圆

在求解线段最值问题时，往往会出现多个动点的情况，如果此时两个动点同时考虑，学生会出现思维混乱、考虑不全面或者出现重复的情况，因此该类问题在考虑时可以“定一动一”，或略过题目本身的多动点而重新确定动点辅助解题。

例2：如图3，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF。连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H。若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值多少？

图3

图4

反思：上述例题虽然也没有提到圆，且存在多个动点，如果直接从两动点出发，很显然无形中增加了该题的难度，但是如果在求解时可以忽略两动点，重新确定动点的方法找出隐形圆，那么该题就迎刃而解了。因此学生在求解多动点问题时可以考虑另辟蹊径，重新确定动点来求解。

三、运用旋转轨迹找圆

旋转是几何体中常遇到的变换方式，而大部分同学对于该种变换理解不清，学生在解题之前应明确旋转所带来的等量关系，包括线段相等、角度对应、面积不变等关系，而这些都是接下来解题的关键。其次，旋转必然存在旋转角度、旋转轨迹，多数情况下旋转轨迹为弧，而弧是圆的一部分，因此学生在解决该类问题时可以优先考虑找“隐形圆”。

图5

图6

例3：如图5，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕定点C逆时针旋转得△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM,若BC=2，∠BAC=30°。求线段PM的最小值和最大值。

解析：由题可得AB=A'B'=4，点P为A'B' 的中点，则CP=CB=2,即可得以点C为圆心，以CB为半径的圆，圆内一点到圆上各点的连线中,点与过圆心的直线与圆近交点距离最短,远交点距离最长。根据圆内一点与圆上点间的关系可得点P与点M间的距离关系有三种可能，如图7 所示，故线段PM的最小值为MP=CPCM=1，线段PM的最小值为MP=CM+CP=1+2=3。