让理论落地：计算错误成因分析及“理错教学”的实施策略

黄蓉蓉

摘  要：课堂教学中，教师要及时“理睬”学生的差错资源，让学生“理会”差错资源的来龙去脉，通过教师的“理答”，引导学生将差错“理整”，建构自己的知识体系，进而让学生“理解”差错，实现少错乃至不错的目的。可见，在这一系列的过程中，“理错教学”要求教师既要理解、关注学生出现的错误，更要洞察错误背后的“真相”，引导学生注重反思和整理，实现知识的自然生长。

关键词：小学数学;错误成因分析;理错教学;实施策略

小学阶段，学生的运算能力在诸多能力中有着不可动摇的地位，其“实用价值”与“基础学力价值”是成为“不倒翁”的原因。但是学生在进入高段学习之后，计算水平的差异性越来越明显，特别是五年级上册小数的乘除法计算，无论是口算还是竖式计算，都一直困扰着教师和学生。因此，教师如何直面纷扰、追根溯源、深入分析，进行理错教学，便成为教师研究的方向。

一、小数乘除法计算错误的成因分析

1. 知识性问题

（1）新旧知识间的相互抑制

学生的运算能力具有层次性、发展性。因此之前存储于大脑中的运算知识和方法，其掌握的熟练和理解程度直接影响着后续的学习，即前摄抑制。如小数加法计算，小数点对齐，即数位对齐，而小数乘法教学时，学生易将此方法迁移，很难理解为什么末尾对齐。当然，新的信息存储重新构成新的知识框架，也会对学生之前的学习产生倒摄抑制。如小数乘法的口算学习对小数加减法的影响。

（2）计算教学结构的单一化

教师虽比较关注计算能力的基本功训练，但是“过渡训练、创新不足”是大家面临的现实问题。曹培英老师刻画出运算能力的四面体结构模型：基本口算、算法掌握、算理理解、运算策略，该模型从四大要素的角度试图揭示运算能力的正确培养方式。可见 ，基本运算只是计算教学的一小部分。而算法、算理共同构成了运算的奠基石，它们相辅相成。运算策略是衡量学生运算能力的核心因素，它包含对运算信息的运用处理、运算方法的选择、运算过程的简化及其自我评价。综上所述，计算教学内容是丰富的、形式是多样的、目标应是多维的。

2. 心理因素的干扰

（1）注意力较低对知识联结点的偏差

小学生注意的广度和深度都处在发展阶段，极易受到复杂信息的干扰。在进行小数乘、除法竖式计算时，要进行多次计算步骤，学生往往顾此失彼。如小数乘法中“积的小数位数”是学习的难点，最后这点睛一笔，极其容易出错。具体原因是多样的，教师要因人而异、因题而异，精确“理答”。

（2）感知发展水平对算式特征把握的偏差

计算过程中，学生通过感受器官把数据和符号传入到大脑皮层，再经过大脑组织解释之后输出相应的结果，而调查表明，小学生的感知发展水平并不完善。如：学生计算0.2×0.4时，容易错算成0.8;0.49÷7算成0.7……可见，学生在计算时往往是选择性地感知问题，因而忽略某些数和算式的特征。在空间知觉中，学生遇到形态相似的数字时容易产生错觉，如运算7.8+3.02时，学生很容易因误看成2和8合起来是10导致数位不对齐而口算出错。

二、理错教学的实施策略

结合计算错误成因分析，笔者根据“理错教学”的实施过程，从数学知识和儿童心理两个视角对课堂教学进行改进，提出一些可实施的策略，艺术地处理学生生成的差错、巧妙地彰显差错的宝贵价值，促进学生真正参与到创造性的学习活动中。

1. 数学知识视角

（1）理清算理是核心

“课标2011年版”对运算能力的内涵进行了具体的描述，其包含了运算能力的三个主要表现特征：正确运算、理解算理、方法合理，其中理解算理处于核心地位。教学小数乘整数时，教材编写旨在让学生在具体情境中理解其运算意义，并借助多种方法帮助学生理解和分析运算过程。教学时，学生根据已有的知识经验探寻出多种方法，如先转化成已学过的小数加法进行计算;或通过单位换算成整数乘法再計算。教师以此为契机，介绍竖式计算方法，引导学生观察算式中小数乘整数积的变化规律。学生顺势发现规律，新知看似“完美”习得。但是，教师继续追问：“一位小数乘整数时，结果可能是两位小数吗？”大部分学生却解释不清。此时，教师要及时“理睬”学生的问题，让学生“理会”知识的来龙去脉。建议借助直观图“理解”算理，让学生比较0.8×3与0.08×3的异同：纵向看，都可以先看作整数乘法8×3来计算，不同的是一个表示的是24个0.1，所以积是一位小数，另一个表示的是24个0.01，所以积是两位小数;横向看，小数乘整数，计数单位不变，改变的只是计数单位的数量。在核心问题的探究下，理错教学能提高学生的学习效度，引向知识的思维本质。

（2）比较辨析强认知

数学学科逻辑性强、严密性高，因此，一味机械化地训练计算只会是一件耗时长、收效低的方式。教师要选择合适的题目通过对比、辨析化解学生的误会。如上面提到的例子：0.2×0.4，据了解，这些孩子对小数乘小数的口算方法已基本掌握，但是为什么还会出错？最主要的原因是其误认为是计算0.2×4，也就是小数乘整数。教师在教学时，如何正确地“理答”？同时呈现这两道算式，让学生在比较中发现症结所在，两个算式特征不同、计数单位不同，所以积也不同。当学生再做到类似题目时，脑海里会自动生成另一道对比题，增强对知识的整体认识。

（3）估算检验有必要

目前，学生的运算能力的培养重准确计算、轻估算，估算仅是出现在教材安排的几个部位，点到为止。实际上学生在进行计算时，估算意识不强，因此明显的错误也没能纠正。当然，还有按题意要求，利用运算法则进行算式的检验也只是流于形式。数学计算往往具有一定的规律，运算也具有一定的流程，先估算再计算最后再验算，以保证结果的准确性。如教学小数除以小数的例题：7.98÷4.2，在尝试列竖式计算前，先估一估结果是多少，很明显结果大于1小于2。学生在实际计算时，由于第一次学习，所以小数点还不知道如何处理，有不少学生算出的结果是0.19，该答案除了与估算结果不符，也可以通过乘法初步验算，这里的两位小数乘一位小数其结果只可能是三位小数，无法得到被除数。估算与验算两相结合，即时发现错误，培养数感，提高计算的正确率。

（4）反思诊断很关键

引导学生将差错“理整”，建构自己的知识体系，“理解”差错、不断反思是一种必不可少的数学学习素养。学生的反思水平直接影响着对错误的理解程度。但是学生个体在心理方面和学习优势方面均存在差异。对同一题目，反思水平强的学生能够借助错题背后蕴含的数学知识进行分析整理，而反思水平弱的学生只是对问题进行简单的记录，未能真正理清缘由，因此重复做错的可能性较大。教师通过学生的反思记录本判断学生的理解程度，并提供合适的帮助，如学生出现“积的末尾有0时，先划掉了0，再点小数点”这类问题，如果其记录的是“要先写0，再点小数点”这般记忆式的反思，那教师就有必要对他进行个别指导或全班交流。追问一：末尾的0为什么要添上？追问二：末尾的0为什么又可以划去？通过恰当地提问和巧妙地引导，直面问题的核心。学生通过错题的整理与反思，形成错题资源，培养良好的学习习惯。

2. 儿童心理视角

（1）激发运算学习的趣味性

有研究者指出，儿童在面对乏味的内容时可能产生疲劳，特别是连续地进行单调的计算任务时，可能发生漏写、错写等计算错误。根据学生的心理特点，挖掘出学生感兴趣的活动、话题作为教学情境的主线，如学校的科技节活动、童话节活动中涉及的问题等，体会计算在生活实际中的运用。训练形式也可以多种多样，比如小数乘法的竖式计算的练习，可以是纯粹的竖式计算，也可以是选择题题型，考核学生对每一步算法的理解，还可以是竖式填空，推算出完整的竖式。形式不同、程度不同，给学生带来的挑战性也不同，学生较容易感受到计算的趣味性。

（2）提升儿童感知的准确性

首先，学生对问题特征无法准确把握时，就需要教师反复重复、重点强调、对比分析，提升儿童的感知能力，特别是相近性、相似性问题。其次，改编易错题，定期开展计算比赛，让学生在较稳定的环境下测试。每次测试的题量、难度都有所遞增，结合多种评价标准，如正确率、测试时间、一次性做对的题数变化、错题的题数变化等方面，增强学生的运算信心，同时提高学生注意力的稳定性和分配能力。

（3）提高运算能力的灵活性

运算能力的培养最终也是对思维能力的提升，在教学时要适时地根据题型、问题背景指导学生选择合适的方法解决问题。比如面临实际问题时，首先考虑是近似答案还是精确答案，是选择估算还是选择准确计算。其次，将合理选择算法贯彻到笔算中，如2.4×1.2，这道题的计算除了可以列竖式外，还可以运用运算律对1.2进行拆分，即用乘法拆成2.4×2×0.6，或者用加法拆成2.4×1+2.4×0.2，突显运算思维的推理成分，靠理解算理和灵活运用算法来保证运算正确，同时有利于提升学生的运算策略水平。

总之，学生在学习过程中面临的各种差错，都应在教师预料之中、情理之中，教师应站立在知识的角度和儿童的立场去理解错误的发生、智慧地理答，有效实施理错教学，帮助儿童从差错中获得知识、掌握技能、善反思、善总结、提高思维水平。