正方体的截面问题

武增明

(云南省玉溪第一中学 653100)

一个平面与一个正方体表面的交线围成的封闭平面图形称为正方体的截面图形，简称正方体的截面.正方体的截面，对三角形来说，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；对四边形来说，可以是等腰梯形、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；对五边形来说，可以是任意五边形，但不可能是正五边形；对六边形来说，可以是正六边形.正方体的截面至多是六边形.判断正方体的截面的形状的理论依据是，高中立体几何中确定平面的三个公理及其三个推论.

正方体的截面问题，涉及到截面形状的判定、截面面积和周长的计算、截面图形的计数、截面图形的性质的判定、截面图形的面积和周长的最值(取值范围)的求解.本文仅介绍正方体的截面面积和周长的最值(取值范围)的求解方法，以及截面图形的性质的确定方法.解决这三个问题的关键都是截面形状的判定.下面举例说明.

一、正方体的截面面积的最值问题

例1 (2018年高考全国卷Ⅰ·理12)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为

评注根据正方体的性质确定平面α的位置是解题的关键.

二、正方体的截面的周长问题

A.27 B.16 C.9 D.8

分析先由四边形BMD1N是平行四边形将四边形BMD1N的周长转化为2(BM+MD1)，再将正方体的侧面展开，得到BM+MD1的最小值，由已知条件求得a的值即可求解.

解析设正方体的棱长为a，如图3，M，N分别是平面四边形BMD1N与AA1，CC1的交点，由题意可知四边形BMD1N是平行四边形，所以四边形BMD1N的周长为2(BM+MD1).

评注解答本题的关键是将正方体的侧面展开，找到使得平面四边形BMD1N的周长取得最小值时点M的位置.

三、正方体截面图形的性质问题

例4 (2013年高考安徽卷·文15理15)如图4，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是____(写出所有正确命题的编号).

故所有正确命题的编号为①，②，③，⑤.

例5 (2005年全国高中数学联赛试题)如图7，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.任作平面α与对角线AC1垂直，使得平面α与正方体的每个面都有公共点.记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则( ).

A.S为定值，l不为定值

B.S与l均为定值

C.S不为定值，l为定值

C.S与l均不为定值

解析先考察特殊情形.

注意到l1=l2，S1≠S2，由此可以断定S不为定值，而l有可能为定值.

再考察一般情形.

设六边形J1E1F1G1H1I1为任意一个符合要求的截面，则此截面与前面两个特殊的截面平行.

由相似三角形对应边成比例，得

故选C.

评注解本题应用了由特殊到一般的思维方法，这是求解复杂问题的常用方法之一.