例谈数列通项公式求解的基本方法

刘娅丽

(江苏省郑集高级中学 221100)

数列通项公式求解是高中数学教学中的重点内容，是学生务必掌握的知识，笔者在教学中，对课本内容中的这些基本方法进行了综合分析，并结合高考题型进行了归纳总结，得出了以下三种基本方法.只要同学们掌握了以下三种基本方法，以不变应万变，通过一定的联想转化就可以解决大部分的题目.希望能够对广大师生有一定的帮助与启发.

一、公式法，尝试转化

如何求解一个数列的通项公式呢？我们在学习过程中往往有这样一个经验，就是把未知的问题转化为已知的，再用学过的方法去解决.在求数列通项公式中也可以这样做，仔细观察，将原式简单变形，等价转化为已经学过的等差等比的数列公式，就可以轻松解决.

在用公式法求解数列通项公式时，最需要关键的就是如何转化，以及为什么那样去转化，怎么才能想到转化的思路呢，这一点困扰了很多同学.在我看来只要经过大量的练习与细心观察，加上勤于动手，多加尝试，就可以突破这个难关.

二、累加法，科学递推

在必修五12.2中，等差通项公式的推导采用的便是累加法.当递推公式给出的是an+1与an差的关系，累加法就是通过递推关系，列出所有n的取值，所有等式累加，将中间项全部抵消，得出了an+1与a1，进而求得通项公式.

在已知数列{an}满足an+1=an+2n+1，a1=1的条件下，求数列{an}的通项公式.与等差数列an+1和an的差是个定值不同，在这里差是个关于n的函数，很多同学往往因此不敢下手去做这道题，实际上它仍然用的是教材中累加的思想，我们将原式an+1=an+2n+1变形得出an+1-an=2n+1，接着将n取值一一列出，a2-a1=2+1，a3-a2=4+1，a4-a3=6+1，…，an+1-an=2n+1，共有n个等式，所有等式相加，左式为(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1，等式右边则是等差数列2n+1求前n项和的形式，所以累加得出an+1-a1=n2+2n，an+1=(n+1)2，而这个是n+1的通项，最终将n+1变为n，求得an=n2.从这个例题中我们看出累加法一般分为4个步骤，第一步将一般的递推关系式转变为累加法的形式并详细列出，第二步观察得出累加项的项数，第三步累加后整理好等式右端并用合适的方式求和，第四步就是化简得出数列{an}的通项公式.通过这样对解题步骤的梳理，学生的思路会非常清晰.

在用累加法求通项公式的时候，虽然大多数题目不会很难，但是有一点很容易出错，就是累加式子的个数，这个个数关系着等式右边是前n项和还是n+1项之和.因此，同学们千万不能眼高手低，一定要认真将过程写好.

三、换元法，整体代入

换元法在高中数学中应用甚广，对于求数列通项公式来说也是一个很好用的技巧.通常面对一些带有根式，无理式，通过换元就可以将其转化为整式与有理式，使隐含的条件显露出来，复杂的问题简单化.通过换元法，学生可以解决很多异形的数列.

用换元法解数列问题需要扎实的知识基础以及灵活的解题能力，同时换元法步骤比较多，n的范围会发生变化，需要特别注意一下.希望同学们首先掌握好等差等比数列的基础知识与公式.遇到这类题目时，不要有所畏惧，在读清楚读懂题目的基础上，耐心回想所学的思想、方法与技巧.

学习完这几种解数列问题的基本方法，我们都可以得出一些结论.数列问题虽然复杂多变，但都是有迹可循的.因此，同学们首先一定要仔细审题，观察其形式，然后才能根据我总结的规律进行方法的选取.当然，任何方法都是基于理解数列知识上的.希望大家可以脚踏实地，打好基础.