应用几何思想 求解圆锥曲线问题

李世建

(江苏省徐州市经济技术开发区高级中学 221131)

一、应用韦达定理，转化

韦达定理表示的是根与系数的关系，在解决圆锥曲线与直线相交的问题时起到了很大的作用.直线是二元一次方程，圆锥曲线是二元二次方程，在求解交点问题时，往往需要联立方程组，转化成一元二次方程，再结合韦达定理、求根公式联立求解.

这道题直接用到了两根之和，在圆锥曲线中出现频率较高的弦长公式以及中点弦公式里面会间接用到韦达定理.本题巧在对称点与韦达定理相结合，简化了运算过程，将交点问题直接引到了直线的斜率上，一步得出结果，是解圆锥曲线的关键，要求学生重点掌握.

二、引入参数变量，化简

在涉及最值、取值范围、存在性等问题时，题中往往不会给出所有信息，比如点的坐标、直线斜率……这些是计算过程中要用到的，需要引入变量，代入计算.有时可能会设出多个变量，但在计算过程中通过化简消去了，只作为中间变量.使用这种方法计算简单不易出错.

解析这是一道典型的设而不求，首先假设存在.画图，双曲线是确定的，直线l是未知的，学生可能会纠结该怎么画交点图，图形是为了给我们做题的方向，因此只需要过点A且有两个交点即可.设直线l的斜率为k，M1(x1,y1)，M2(x2,y2).∵A为M1、M2的中点，∴x1+x2=2xA=-2,y1+y2=2yA=2.把M1、M2坐标代入双曲线方程,得：

这道题通过设出M1、M2的坐标，用变量表示，把它当作已知条件，代入运算，通过移项、化简或是利用题中所给出的提示信息消掉，可以减少计算量，提高解题效率.在圆锥曲线的类型题中也是最常见到的，学生应该对这类题型多归纳、多总结，从而提升解题能力.

三、加强数形结合，简洁

数形结合，顾名思义就是把代数反映到图形中，与图形相结合，使冗长复杂的题目变得更加简洁，在图形中能够直观的看出位置关系，运用学过的公式、定理把图中信息转化成代数运算，使圆锥曲线变得简单易下手.

这道题就很巧妙地运用了数形结合思想，把要求的比值转化成斜率，再把斜率与点到直线的距离联系起来，简化题目，而且图形会给人一种直接明了的感觉，使解题思路也变得清晰直观.数形结合不仅在圆锥曲线中起到重要作用，而且对整个数学的学习都有莫大的帮助.

由于圆锥曲线的种类比较多，在高考中的比重较大、灵活性较强，所以学生往往把它当做难题，遇到之后自然在心理上就退缩了.但如果我们教师在教学中，教会学生正确的方法，引导学生只要熟记圆锥曲线的各类图形的内容、性质，掌握做题技巧，应用几何思想，就可以轻松应对，从而达到高效解决圆锥曲线，使它变成一道送分题，真正实现轻松解题的效果.