例析立体几何中体积问题的解题策略

张得南

(甘肃省永昌县第一高级中学 737200)

一、分割法

例2 如图2,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1和CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积．

点评“分割”的目标是：化陌生问题为熟悉问题，化复杂问题为简单问题，其实质是实现转化.

二、补形法

例3 如图3,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面三角形PAD的面积为3，点C到平面PAD的距离为1，求四棱锥P-ABCD的体积．

例4 如图4,在多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，求多面体ABCDE的体积．

点评“补形”的策略是构造熟悉且容易求解的几何体，其本质是一种构造法．

三、转化法

例5 (如图5)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BB1和CD的中点，求三棱锥F-A1ED1的体积．

例6 如图6,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=6，E为CC1的中点，O为下底面正方形的中心，求三棱锥O-A1B1E的体积．

点评这里的“转化”与“变化”，只不过换了一个角度观察，换了一种方法思考，从而达到解决或容易解决问题的目的．例5中把求VF-A1ED1的问题转换为求VD1-A1GE；而例6中把求VO-A1B1E的问题转换为求VA1-MB1E.

四、借助截面

例7 如图7,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为4的正三角形，侧棱AA1=6，并且AA1与 底面两边A1B1、A1C1都成60°角，求三棱锥A-A1B1C1的体积．

例8 如图8,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1上的一点，BD1∥截面EAC,并且截面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=2,求三棱锥B1-EAC的体积．

点评上面两例，看似与截面无关，但根据题目的特征恰当地做出了相关截面，使复杂问题得到了简化，隐含条件得到了显化，为解题带来了方便．

五、引进变量或选择参数

例9 如图9,在四面体ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=1，求此四面体体积的最大值．

例10 如图10,圆锥的轴截面是等腰直角三角形，母线长为2，P、Q分别是底面圆周上和圆内的动点，且OQ⊥PQ，又E是SP的中点，F是点O在SQ上的射影．

(1)求证：OF⊥平面SPQ；

(2)求三棱锥S-OEF体积的最大值．

解析(1)(解法略)

点评例9与例10都是体积最值问题，通过引进变量或选择参数，建立目标函数，分析函数的结构特点，运用不等式性质和三角函数的有界性来解之，明显来的巧妙、方便．

六、特殊化处理

例12如图12,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,动点E、F在棱A1B1上，动点P、Q在棱AD，CD上若EF=1,DP=a，求四面体PEFQ的体积．

点评立体几何中的动点问题，貌似让人捉摸不定，不知从何处入手，其实问题的关键是如何分析题设条件，如何在原图基础上化“动”为“静”，化“立体”为“平面”，增添必要的平面辅助图，并合理运用相关知识，如例11中把M定在A1处，例12中把E定在A1处，问题便迎刃而解．