单元教学设计视角下“三角形的面积”的思考与实践

◎ 张 琦 冯轶骋

单元教学设计，就是要在整体思维指导下，以整体性的视野来整合资源、设计教学，突出数学内容的主线以及知识之间的相互关联。其目标指向发展数学思维，提升核心素养。

“三角形的面积”在沪教版小学数学教材中是五年级第一学期的教学内容，属于“图形与几何”板块（见图1），而在上海市实验学校数学课程中放在了三年级第二学期（见图2）。课程设置的单元结构大致相同，只是沪教版教材的平行四边形、梯形的图形认识及其相关知识是放在同一单元内集中研究的，而我校课程分散到了三年级第一学期和第二学期。三年级第一学期除了图形的认识，还增设了三角形与四边形的转化及四边形与特殊四边形的转化；三年级第二学期在学习图形面积之前还有一个单元集中学习作图，其中包括运用尺规作角的加减，作平行四边形、三角形等，以及运用三角尺作平行四边形和三角形的高线。

图1沪教版五年级数学教材对应内容

图2上海市实验学校三年级数学课程对应内容

一、课前思考

（一）教材的编排体系分析

从这个单元的编排体系来看，共有三种图形面积计算公式的探究，以及组合图形面积计算，其核心思想是“转化”，将新图形转化为已知面积计算公式的图形。在这里，三角形面积计算公式的推导具有承上启下的作用，承上是受平行四边形面积研究的启发，尽管“沿高剪开”的方式不能完全照搬，但转化的思想还是可以借鉴的，并且这些转化的方法又可以运用于梯形面积公式的推导以及组合图形的面积计算当中。

平行四边形面积公式推导时一般只用一种思路——转化成长方形，随着已知面积计算公式的图形不断增加，转化方法也越来越多，因此面积公式推导的环节是培养学生图形思维很好的素材，其中方法的多样化也是本节课要鼓励尝试的。

（二）学生的认知起点分析

1.从知识结构来看

在学习三角形面积之前，学生已经认识了平行四边形及其特征，不仅对边平行，而且对边相等，并尝试用两组长度相等的小棒来围平行四边形，这其实都是为两个大小、形状完全相同的三角形拼出的图形为什么是一个平行四边形的说理提供了依据。

学生清晰地知道三角形有三组对应的底和高，这为三角形面积计算时寻找对应的底和高奠定了基础。学生已通过平行四边形面积公式的推导过程，初步了解转化的数学思想方法，并且通过分别沿两条底边上的高剪开进行割补渗透对应意识，如图3所示。

图3平行四边形面积公式推导

在沪教版教材中，学生具有将平行四边形沿对角线剪开得到两个大小形状完全相同的三角形的经验。在我校课程中，安排了三角形和四边形的转化，学生理解两个大小、形状完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，并进行了分类讨论，这也是本节课的探究起点。

2.从学生学习的实际情况来看

凭借以往的教学经验，我们相信我校三年级的大部分学生对于三角形面积计算公式应该不会陌生，通过自主预习、家长辅导，或是课外学习等途径，多少会有一些了解，但是否真正掌握其推导过程、掌握到什么程度，还不能确定，因此我们在学习了平行四边形面积公式（第一课时）之后对学生进行了前测。数据显示有90.3%的学生已经掌握了三角形面积的计算方法，其中有80.6%的学生能用画图的方式表达其推导过程。学生推导方法基本集中为两种：有36%的学生用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形；剩下64%的学生将一个三角形沿高剪开和另一个完全相同的三角形拼成一个长方形。没有学生用到将一个三角形剪拼成长方形或平行四边形的方法。

深入分析，第一种方法源于学生已有三角形与平行四边形转化的经验；第二种方法源于平行四边形面积探究时沿高剪开转化成长方形的思路。对于第三种方法，由于缺乏经验支持，所以没有学生涉及，这也提醒我们如果希望学生在自主探究中能在这一方面有所突破，还需要提供适当的铺垫或启发。数据的支持为我们的教学设计提供了依据。

二、教学设想

基于对教材的单元编排体系的分析和对学生认知起点的分析，我们厘清教学思路，确定教学目标及教学重难点，并选择合适的教学方法和教学策略。

（一）厘清教学思路

1.“两个三角形拼”和“一个三角形剪拼”兼顾

在备课之前，笔者参考了不少文献及各版本教材，除了浙教版教材是把“出入相补”原理作为探究内容之外，大部分教材和案例都是将其作为一种知识拓展、知识欣赏加以了解的，但这一方法的运用其实是为梯形转化、组合图形转化开启了大门，方法会更加多样，思路会更加开拓。基于此，我们确定将一个三角形的剪拼也纳入教学要求当中，希望学生在适当材料的引导下，在小组合作分享的交流中受到启发，对这一方法进行摹仿和创新。

2.以三角形任何一边都可以作底的研究取代三角形分类讨论

根据我校课程的编排体系，学生在三年级第一学期已经通过操作，对三类三角形拼平行四边形进行了分类讨论，通过“完全归纳”得到“任意两个大小、形状完全相同的三角形都可以拼成一个平行四边形”的结论，所以在这里笔者认为把两个完全相同的锐角三角形拼成平行四边形的做法具有一般性，与其他两类三角形拼成平行四边形的过程一样，结果也一样，所以在唤醒学生认知之后没有必要再进行分类讨论。

真正值得关注的问题应该是两个三角形拼成平行四边形会有三种拼法，即三角形的任意一条边，都能作为所拼成的平行四边形的底，所以在计算三角形的面积时，任意一条边都能作为底，并且都能找到它对应的高，虽然所选的底和高在变，但面积始终不变，在此也凸显了变与不变的思想。基于这一点，在给学生提供的三角形纸片上就应该用不同颜色来标注三角形的三条边，便于学生观察感知，渗透对应思想。

（二）确定教学目标及重难点

1.教学目标

（1）通过利用方格、剪拼等方法，经历三角形的面积计算公式的推导过程。

（2）能运用三角形面积公式直接进行面积计算；在不同的具体图形中理解三角形的底及对应的高的变与不变，并能灵活运用公式。

（3）在探究和交流中，尝试观察、操作、猜想、发现、验证、归纳等多种数学活动，体验并感悟“转化”的思想方法，感受不同方法的各自特点。

（4）在独立探究与合作分享中，获得成功体验，激发学习兴趣，了解数学文化，感受民族精神。

2.教学重难点

（1）教学重点：探索三角形的面积计算方法，能计算三角形的面积。

（2）教学难点：通过探究三角形的面积公式，感受“转化”思想。

（三）选择教学策略与方法

“转化”是本节课的重要思想方法，在学习活动中，学生会经历“猜想—探究—发现—验证—结论”等一系列思维活动的过程。

1.自主探究，培养创新能力

在这堂课上，我们采用的是放手让学生自主探究的方法。这样的尝试，相信对于独立探究成功的学生来说，创新体验较为强烈，当然也存在课不太好把控、随机性较大的问题。为了让学生在已有认知基础上有所突破，我们在探究材料的准备方面，略作了一些设计。

（1）给学生提供的材料不仅有三角形纸片、剪刀，还有水彩笔，希望有部分孩子的操作不仅是剪、拼，还能以画草图的方式呈现，从而发展空间想象能力。

（2）为了使学生能够自己想到一个三角形剪拼的方法，我们在给学生的三角形纸片上印了淡淡的方格，希望数方格的方法会迁移到剪拼当中，打开思维。

2. 梳理归纳，构建认知结构

这堂课学生呈现出来的方法很多，对应的公式也很多，需要对其进行梳理归纳，才能更好地帮助学生建立认知结构，从而也让学生在学习中逐步形成主动建构的意识，并为后面探究时的有序架构打下基础。

三、教学实践

（一）情境导入，再现转化

（1）复习引入。

复习：我们已经学习了哪些平面图形的面积计算公式？

归结：长方形、正方形都是特殊的平行四边形，因此可以统一用哪一个公式来表示？S=ah。

（2）推导再现。

提问：还记得平行四边形的面积计算公式是怎样推导的吗？（演示两种剪拼过程）

（3）唤醒转化思想。

提问：这个过程中用到了什么数学思想？（转化）

（二）初步探究，发现公式

（1）揭题：三角形的面积。

（2）引发猜想。

设疑：三角形的面积和什么有关？三角形能转化成什么图形？

（3）自主探究，合作交流。

（可以借助学具进行剪、拼操作，也可以画草图探究）

（4）反馈交流，感悟方法，演绎推理，互相验证。

①用两个三角形拼成平行四边形。

交流过程中引导学生发现：

A.所拼成的平行四边形的大小和原三角形的关系。

B.所拼成的平行四边形与原三角形的底、高对应关系。C.三角形的任意一条边都可以作为底边。

提问：你找到计算这个三角形面积的方法了吗？

追问：是不是只有锐角三角形才可以？（说明方法的一般性）

质疑： 刚才我们借助平行四边形面积公式推导出了三角形的面积计算公式，那你们怎么知道拼出来的就一定是平行四边形呢？

强调：任意两个大小、形状完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。

②用两个三角形剪拼成长方形（见图4）。

图4拼成长方形

（三）品读史料，感悟文化

用动画演示刘徽“出入相补”的过程，如图5所示。

图5出入相补

再次探究：尝试作草图，汇报交流，展示转化方式，尝试说理、推导面积计算公式。

【说明】“出入相补”原理基于学生操作的实际情况决定，若学生在探究过程中已经发现这种方法，则学生自己介绍，教师辅助说明；若学生未能发现，则教师介绍，学生再进一步探究。

（四）殊途同归，总结归纳

呈现学生探究的所有结果，如图6所示。

图6学生的探究结果

【小结】通过不同方法推导三角形的面积计算公式，都运用了转化的数学思想，得到的公式都可以用S=ah÷2来表示。

（五）练中探究，发现规律

【练习1】计算下列三角形的面积，如图7所示。

图7练习1

动画演示，体会同底等高的三角形面积相等；等底同高的三角形面积相等。

【练习2】如图8所示，两个平行四边形的面积都是50平方厘米，两个涂色三角形的面积相等吗？为什么？

（六）拓展提升

【拓展练习】请你用今天学过的知识，在方格纸上构造一个面积为12平方厘米的三角形，看谁画得多。

图8练习2

四、反思与启示

本单元教学的重点，不仅在于公式的发现、掌握和运用，更重要的是数学思想方法的渗透和数学思维能力的培养，以及图形之间的相互转化和内在联系。在教学中有四个问题是值得特别关注的。

(一)重视认知起点，巧用有效策略

学生的认知起点，是教学设计的依据，不仅决定了教学内容的取舍，更为教学策略的选择提供帮助。在本节课中，根据教材分析，关注到学生已经具备了将两个大小形状完全相同的三角形拼成一个平行四边形的经验，所以将分类讨论一笔带过，而将重点放在了两个三角形拼成平行四边形的三种拼法上，强调对应思想；通过学情分析，发现学生缺乏将一个三角形剪拼成平行四边形或长方形的经验支持，所以在学具提供时考虑给学生一些“暗示”，在三角形纸片及练习纸上均印了方格，希望受到“数方格”的迁移，能够帮助学生打开“思维”。实践证明，可视化材料的提供确实提高了学生的可操作性，在第一次自主探究中就有学生实现了将一个三角形剪拼成长方形的转化，并推导出三角形面积计算公式。

(二)抓住数学本质，培养创新能力

在探究学习中要鼓励方法多样化，无论用哪种方法进行探究，都是在积累基本活动经验。鼓励学生用自己喜欢的方法进行研究，可以满足学生个性化学习的需求，最后殊途同归，感悟不同方法的各自特点，激发学习兴趣和创新思维。

在操作中要重视关注数学本质，比如只有两个大小、形状完全相同的三角形才能拼成平行四边形；一个三角形的转化，只有找准了“沿两腰中点剪开”这一基本策略，转化才能实现。在首次探究中，有学生就发现了这一秘密，又通过师生互动揭示本质，到再次探究时，明显产生了更多的创新思路，甚至是教师没有预设到的，相信灵活的转化思想也必定会迁移到后面的梯形转化当中。

(三)启发思辨说理，引发高阶思维

小学阶段，学生的思维以形象思维为主，逐步向抽象思维过渡。而我校则强调形象思维与抽象思维同步发展、运用合情推理来发现规律，又通过演绎推理来验证规律。因此，在教学中，对于两个大小、形状完全相同的三角形为什么可以拼成一个平行四边形、一个三角形剪拼成的图形为什么是长方形等一系列问题进行了追问、质疑，由于平时的思考习惯，学生在课堂上运用已有知识轻松化解，在交流互动中思维碰撞，在合作探究中互助分享。对于小学生来说，直观感知固然重要，但也离不开理性思考，经常说理，能让学生的表达能力、思辨能力不断提升，从而改善思维的严谨性、逻辑性，引发高阶思维。

（四）建构知识体系，形成思维习惯

在我校数学课程的实施过程中，比较关注发展学生自主建构知识体系的意识和能力，因此最后小结时，通过图6对三角形面积的探究方法进行了梳理和归纳：第一行全部都是转化成平行四边形，第二行是转化成长方形；第一列全都是ah÷2，三角形面积是平行四边形或长方形面积的一半；第二列，底一半，高相等；第三列，高一半，底相等，最后殊途同归，都可以归到ah÷2这个公式。虽然不急于要让学生完全明白其中的奥秘，但相信经常帮助学生对知识进行梳理，必定会对其学习方法、思维习惯产生影响。在梯形学习中，又增加了转化为三角形的思路，因此会产生三行三列。有序架构，多而不乱，也是给学生提供暗示，提醒他们去思考更多的转化方式，打开创新思维的大门。

一堂课的设计，不能只关注这堂课，而是要整体布局，瞻前顾后，上串下联，找准基点，立体架构，站在单元甚至更远的立场去思考，既要有意识地去适当挖掘更深一层次的数学本质或内涵，也要为接下来的学习作好铺垫，尤其是一些思维习惯、思维能力的培养，不仅能优化学生思维发展路径，更能迁移到学生生活、学习的其他领域，这也正是数学的育人价值之所在。