学生向形式化证明转变的困难研究

邵泽玲 李志国

【摘要】高等数学思维以其精确的数学定义和严格的逻辑演绎证明为特点，数学证明已经普遍成为中学向大学过渡期学生认知困难的重要因素.当前的大学数学课堂教学中，绝大部分学生对严格形式化的数学证明产生了恐惧.为帮助学生顺利转向高等数学思维，本研究在已有理论框架[1]下調查了学生在形式化证明认知上的困难，深刻剖析造成这种困难的根源，这将对大学数学教学改革有重要指导意义和现实意义.

【关键词】高等数学思维;数学证明;概念使用;概念理解;过渡

一、引言

20世纪60年代的数学课程改革认为形式化证明是现代数学最重要的特征[2]，这种观点毫无疑问是源于对数学基础的澄清，由此产生的逻辑主义、形式主义和直觉主义三大学派尽管在数学哲学起源上存在很大差异，但都在一定程度上强调了形式证明的重要性，正是这一点极大地影响和促进了数学学科的发展.

尽管有许多的经验研究已经强调了学生证明的困难，但是大部分是针对中学几何课程，研究中学生在形式化证明方面的困难，却很少涉及大学生.在已有的框架[1]中，学生个体证明主要是从数学语言与符号、概念理解以及证明三个方面开始进行原因分析，理论框架中的概念理解模式包含概念的三个方面：概念定义、概念表象和概念使用，而概念使用是指个体在创造或使用例子或证明过程中对概念的运作方式.文[3][4]中作者提出的“概念定义”和“概念表象”是概念理解的两个方面，“概念表象”和“概念定义”相比较而言，概念表象缺乏表达数学思想的语言，没有揭示出证明的逻辑结构，而概念定义不仅给出了证明思路同时也给证明书写提供了语言即词语和符号.

数学论证作为人的活动需要的不仅仅是对概念定义与逻辑过程的理解，而且还需要洞悉如何进行及为什么进行.数学定理的建立最主要的创造性工作不在于证明，而在于产生命题的猜想.许多数学家和数学教育家对“数学最重要的方面是演绎推理”“形式证明是数学的制高点”的说法产生怀疑.他们认为数学有比形式体系更多的东西，实际是承认“数学实践”的现实性.著名的数学家和哲学家拉卡托斯[5]认为，数学在本质上是“可以错误的”，数学的发展是一个充满“猜想、证明和反驳”的过程.他认为数学是假设演绎性的，他肯定非形式化的数学，目的在于试图对数学知识的发生、数学知识的证明、数学知识的历史和逻辑结构给出一个清晰的描述.Davis[6]认为数学证明可以扮演不同的角色，证明可以导致新的发现，证明可以是辩论的焦点，同时证明也有助于消除错误.

二、方法与结果

现在的大学数学课堂教学中，绝大部分学生对严格形式化的证明产生了恐惧.事实上，数学证明无论是在中学还是大学对学生思维发展来说都是一个极大的挑战.数学推理通常用来指某些高等数学思维过程，这种严格的形式化的证明是属于高等数学思维的范畴，Tall[2]指出高等数学思维包含了由描述到定义、由确信到证明的转变，它的一个突出特点就是对精确概念定义和严格逻辑推理的突出强调.Selden[7]也指出高等数学思维就是“建立在正规定义上的严格逻辑演绎过程，而这个概念定义是无法通过我们的五官感知到的”.

研究把定义基础上的演绎证明作为切入点，从定义产生证明的角度入手深入剖析学生证明困难根源.特别关注利用定义去构造数学证明的结构，同时关注概念定义中数学符号的使用，尤其是涉及谓词逻辑时，要告知学生彼此间的逻辑关系，对证明有效性给出一些判断规则等.研究中采用了问卷调查的方式来收集数据，针对极限的定义证明法进行问卷，了解学生对形式化证明的领悟程度，所有的任务要求学生在给出解答的同时给予解释.研究对象是86名大学一年级计算机专业的学生，这些学生正在进行为期一年的高等数学的学习.

问卷中，计算机专业的这86名学生中有76名学生只能接受直观、非形式化的证明.尽管有9名学生尝试使用形式语言，可还是从直观的角度来描述了证明过程.学生对极限的ε-N定义证明存在诸多的困惑，仍然有18名学生不能接受这个证明，从他们的描述中可以看到学生证明中的困难.谈到与中学证明的不同时，学生列举了下述几种情况.

情况（Ⅰ）：他们认为和中学证明比较，极限证明更加严谨，过程更复杂，思维方式存在不同，大学证明似乎是在把简单问题复杂化.

这类学生能认识到极限证明和中学存在不同，但是他们似乎并不接受极限的这个严格证明，认为很明显的问题不需要证明.由此看来，他们根本无法理解这样一个过程，对极限定义的理解还仅仅是直观化水平.

情况（Ⅱ）：中学证明往往都是借助公理、定理或公式，直接由条件推出结论，论据充分而直观.而极限证明是按照定义，由条件凑结论，似乎是在解释，不像证明.

这类学生意识到极限的证明是利用定义来证明的，但是他们认为这样纯粹是凑结论，而不是真正意义上的证明.其实，这类学生并没有从本质上理解极限的严格化定义，所以没有找到证明极限的关键点，因此，无法由定义来产生证明的大体结构框架.

情况（Ⅲ）：中学证明都有确定的数值、字母或图形.而极限证明则充满了符号，感觉是在玩符号游戏，对ε的选取完全取决于个人意愿，放缩也具有随意性，只要能凑出结果就可以，可信度不高.

这类学生期望在用定义给出证明的同时最好辅以其他的说明，比如，图形或者数值等.事实上，他们无法单纯依靠概念定义来获得概念理解，总是希望发展更丰富的概念表象来帮助其更好地理解概念定义.

情况（Ⅳ）：中学证明有理有据，具体而存在.而极限证明看不见摸不到，虚无缥缈，就是硬搬教材模式，硬套证明书写格式，根本不理解“任意”和“存在”的逻辑关系.

这类学生的困难在于无法搞清楚量词的逻辑关系，他们认为只是一个格式而已，而且太抽象，根本无法在客观世界中感知到.从本质上来讲，这类学生还是没能从真正意义上建构极限概念，没有把动态的过程凝聚为对象.

综合这几类情况看，情况（Ⅲ）和（Ⅳ）学生的困难在于不能理解和使用符号语言，逻辑关系不清，从而导致极限证明的困难;情况（Ⅱ）学生的困难主要原因在于概念的理解上，该类学生似乎对概念定义有了一个较清晰的理解，处在一个概念定义的水平上，但是由于概念表象的不充分，从而导致在概念定义和概念表象之间产生了不协调，也就是没能建立更好的表象来帮助其理解严格化的定义，当然也缺乏根据定义来建构证明的框架.情况（Ⅰ）学生仅仅是从直观水平来理解极限定义的.

这个理论框架下的分析和Morre[1]的研究是相通的，在列出学生证明困难七个原因中谈道：“无法开始一个证明是造成学生证明困难的重要原因之一，也就是学生根本不会想到利用定义可以证明命题，当然也不知道如何使用定理来获得证明的全局结构.”

三、结论

要发展学生的高等数学思维，教师就要给学生提供发展的机会和平台，让学生在高等数学的学习过程中能真正理解数学，在掌握概念定义的基础上能拥有丰富而充分的概念表象，同时让数学证明成为大学数学课堂教学的重要工具.

APOS理论[8]认为如果能引导个体经过思维的操作、过程和对象几个阶段后，个体一般就能在建构、反思的基础上形成认知图式.这个理论实际是皮亚杰的数学学习“自反抽象”理论的一个扩展，“自反抽象”并非是关于物质对象的抽象，而是涉及对人类自身活动进行反思的结果.按照APOS理论，个体在处理数学情境时是通过使用某种心理机制形成认知结构的，然后才应用到具体数学情境中去.

事实上，极限概念本质上的困难主要在于它是按照未凝聚化的过程而定义的：“给我任意的一个ε，我将找到一个N使得…”，而不是一个概念即“存在一个函数f（ε）使得…”.对专家来说，这种未凝聚化的极限定义的逻辑形式是很难理解的，更不用说是初学者.按照APOS理论对极限概念的解释，两个关联过程的图式（x→a，f（x）→L）的重新建构得到过程，这个过程描述为当0<|x-a|<δ时，有|f（x）-L|<ε，下一步就是把這个过程凝聚为对象并且运用两个量词图式（对所有的ε，存在δ），我们看到这个仍然是动态的，涉及过程，但是又和两个关联过程的动态图式不同.首先，关联的过程本身很困难，不是每名学生能迅速建构的;其次，有必要去很好地理解量词，但是有证据也表明学生并不具备量词观念来处理形式化极限概念[9].

【参考文献】

[1]Morre R C.Making the transition to formal proof[J].Educational Studies in Mathematics，1994（27）：249-266.

[2]Tall D.Advanced Mathematical Thinking[M].Dordrecht：Kluwer，1991.

[3]Vinner S.Concept definition，concept image and the notion of function[J].International Journal of Mathematics Education in Science and Technology，1983（14）：293-305.

[4]Vinner S，Dreyfus T.Images and definitions for the concept of function[J].Journal for Research in Mathematics Education，1989（20）：356-366.

[5]伊姆雷·拉卡托斯.证明与反驳—数学发现的逻辑[M].方刚，兰钊，译.上海：复旦大学出版社，2007.

[6]Davis P J.The nature of proof[C]∥Proceedings of the Fifth International Congress on Mathematical Education.Boston：Birkhauser，1986.

[7]Selden A，Selden J.Perspectives on advanced Mathematical Thinking[J].Mathematical thinking and learning，2005（1）：1-13.

[8]乔连全.APOS理论：一种建构主义的数学学习理论[J].全球教育展望，2001（3）：16-18.

[9]Dubinsky E d，Elterman F，Gong C.The students construction of quantification[J].For the Learning of Mathematics-An International Journal of Mathematics Education，1988（8）：44-51.