用Abel公式证明一些不等式

魏子亮

【摘要】挪威数学家Niels Henrik Abel所提出的Abel公式在数学解题中具有较为广泛的应用.本文利用Abel公式证明了切比雪夫不等式及其他数列不等式问题.

【关键词】Abel公式;数列求和;数列不等式

一、Abel公式的两种形式

（一）Abel和差变换公式

设m

∑nk=m（Ak-Ak-1）bk=Anbn-Am-1bm+∑n-1k=mAk（bk-bk+1）.（1）

我们称（1）式为Abel和差变换公式.

（二）Abel分部求和公式

在（1）中令A0=0，Ak=∑ki=1ai，1≤k≤n，得：

∑nk=1akbk=bn∑nk=1ak+∑n-1k=1∑ki=1ai（bk-bk+1）.（2）

我们称（2）式为Abel分部求和公式.

二、Abel公式证明切比雪夫不等式

例1（切比雪夫不等式）设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，则有：

n·∑nk=1akbk≥∑nk=1ak·∑nk=1bk≥n∑nk=1akbn-k+1.

证由切比雪夫不等式的结构可知，只需证明等式左边即可.

拓广数列{bk}，使bn+t=bt（t=1，2，…），可得到：

∑ni=1bi+l=∑ni=1bi，∑ki=1bi+l≥∑ki=1bi;

ak-ak+1≤0（1≤k≤n-1），

由分部求和公式（2）可得：

（∑nk=1ak）·∑nk=1bk=∑ni=1ai∑n-1l=0bi+l

=∑n-1l=0∑ni=1aibi+l

=∑n-1l=0an∑ni=1bi+l+∑n-1k=1∑ki=1bi+l（ak-ak+1）

≤∑n-1l=0an∑ni=1bi+∑n-1k=1∑ki=1bi（ak-ak+1）

=n·∑nk=1akbk.

三、Abel公式在其他数列不等式中的应用

例2设S（k）n=∑ni=1ik，则∑n-1i=1S（k）i=nS（k）n-S（k+1）n.

证令ai=1（i=1，2，…，n），则∑ij=1aj=i（1≤i≤n），再令S（k）0=0，则：

∑n-1i=1S（k）i=∑ni=1aiS（k）i-1

=∑n-1i=1（∑ij=1aj）（S（k）i-1-S（k）i）+S（k）n-1∑nj=1aj

=∑n-1i=1i（-ik）+nS（k）n-1=-∑ni=1ik+1+nS（k）n-1+nk+1

=-S（k+1）n+n（S（k）n-1+nk）=-S（k+1）n+nS（k）n.

例3已知實数a1，a2，…，an，记an+1，M=max∑1≤k≤n|ak-ak+1|，求证：

∑nk=1kak≤16M·n（n+1）（n+2）.

证由分部求和公式，得：

∑nk=1kak=∑n+1k=1kak

=an+1∑n+1k=1+∑nk=1∑ki=1i（ak-ak+1）

≤∑nk=1C2k+1|ak-ak+1|≤M·∑nk=1C2k+1=M·C3n+2

=16M·n（n+1）（n+2）.

例4若a1，a2，…，an，为两两不同的正整数，则：

∑nk=1akk2≥∑nk=11k.

证由分部求和公式，得：

∑nk=1akk2=1n2∑nk=1ak+∑n-1k=1∑ki=1ai1k2-1（k+1）2

≥1n2∑nk=1k+∑n-1k=1∑ki=1i1k2-1（k+1）2

=∑nk=1k1k2=∑nk=11k.

【参考文献】

[1]刘文芳.Abel变换在证明不等式中的应用[J].中学生数理化（学研版），2012（1）：15.

[2]张俊.Abel部分和公式在不等式问题中的应用[J].数学通讯，2010（7）：63.

[3]潘俊.用Abel求和公式求解数学竞赛问题[J].中学数学研究，2007（6）：47-49.