高等数学解题中微分中值定理的应用分析

姜锐武 唐静

【摘要】微分中值定理具体包含三个定理，分别是罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.三个定理其地位不同，其中拉格朗日中值定理是核心，罗尔中值定理是其特殊情况，柯西中值定理是其推广，这三个定理共同组成了微分学的理论基础.微分中值定理在数学学习和数学研究中具有重要作用，是最常用的数学工具之一，很多微分学应用都建立在微分中值定理上，随着研究深入，其应用更加广泛.本文主要介绍了微分中值定理在解题过程中的应用.

【关键词】高等数学;解题;中值定理

微分中值定理具有重要地位，在数学学习和研究中是最常用的工具之一，其具体内容包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等一系列基本定理，在微分学中占有很重要的地位.很多微分学重要应用都建立在微分中值定理上，随着研究深入，微分中值定理的应用也越来越广泛.中值定理揭示了函数在某区间的整体性质和区间内某一点导数之间的关系，是联系局部和整体的纽带，是微分学应用以及自身发展的理论基础，因此，中值定理是微分学的基本定理，它在数学中占有很重要的位置，本文主要介绍微分中值定理在解题中的一些应用.

微分中值定理是微分学的理论基础，微分学的很多重要应用都建立在这个基础上.微分中值定理常用来解决下列问题：判断可导函数在给定区间内根的存在以及根的个数，求出与给定函数相应的中值公式，并证明可导函数的某些等式与不等式，证明可导函数在区间上（内）的某些整体性质，如单调性、有界性、一致连续性、零点以及其他一些性质.

一、微分中值定理在求极限中的应用

在求极限的题目里，有些题目如果运用一些通常的方法来求解，则会使我们在解题过程中出现很大的计算量，或者比较烦琐的解题过程[1][2]，但是应用中值定理的话，会为这一类题目提供一种简单有效的方法.而用中值定理来解题，最关键在于辅助函数的构造，然后再运用中值定理解题，即可求出极限.

如，求 limn→∞n2（a1n-a1n+1），其中a>0.

分析由于题目中有a1n和a1n+1，则可以试着构造辅助函数f（x）=ax，那么就可以得到f（x）在1n+1，1n上连续，在1n+1，1n可导，即可以利用Lagrange定理解题了.

解根据题意，由Lagrange定理，有

limn→∞n2（a1n-a1n+1）

=limn→∞n2（an′）|x=ξ×1n-1n+1

=limn→∞n2aξlnan（n+1）

=lna，

其中，ξ∈1n+1，1n.

二、微分中值定理在证明函数的连续性中的应用

若函数f在区间I上可导，且f′有界，则f在I上一致连续.

证明对任意x1，x2∈I，则由拉格朗日中值定理可知：

f（x1）-f（x2）=f′（ξ）·（x1-x2），x1<ξ

又f′在I上有界，所以存在L>0，对任意x∈I，有|f′（x）|≤L.

由此可得|f（x1）-f（x2）|<ε.

因此，对任意ε>0，取δ=εL>0，对任意x1，x2∈I，且|x1-x2|<δ，都有

|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|

這就证明了f在I是上一致连续.

三、利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题

一般原理是：若有x0

如设f（1）=0，则存在ξ∈（0，π），使得

f″（ξ）+2f′（ξ）cotξ=f（ξ）.

证首先变换待证中值公式为

F″（ξ）=d2dξ2[f（ξ）sinξ]

=f″（ξ）sinξ+2f′（ξ）-f（ξ）sinξ=0，

其中F（x）=f（x）sinx.

显然F（0）=F（1）=F（π），故用两次罗尔中值定理得所要证.

三、小结

本文分析了在具体解题过程中应用微分中值定理的方法和具体步骤，为相关人员提供一定借鉴意义.微分中值定理在后续研究应用中其作用将进一步得到发挥，这是需要研究人员积极探索的方面.

【参考文献】

[1]陈平，万祥兰.微分中值定理及其应用举例[J].考试周刊，2016（A5）：66.

[2]魏建刚.微分中值定理及其应用[J].考试周刊，2017（56）：2.

[3]贺艳静.微分中值定理中辅助函数的构造法与应用[J].数学学习与研究：教研版，2018（3）：5-6.