三角函数的周期、最值和值域及其求解

冯硕 河北省衡水市郑口中学 河北衡水 253800

三角函数是中学数学的重要内容之一，在高考中占有重要的位置，已经成为历年高考命题的热点．求解三角函数的值域和最值是近年高考的必考问题，往往出现在选择或者填空题中，又常常是三角解答题的主要题型．解决这类问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形，还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识．本文主要讨论三角函数的周期、最值和值域问题，希望引起大家的重视.

一、三角函数周期的求解

二、三角函数最值的求解

求函数最值的主要途径为三角函数有界性、二次函数配方法、平均值不等式等．

的最小正周期和最小值.

解析 对原式进行配方，则有

解析:本题可换元为二次函数，可降次再换元，也可成为二次函数．

三、三角函数值域的求解

复合三角函数的值域问题处理则较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换转化为代数最值问题，可用配方法、基本不等式法、判别式法、图象法等，再求值域．