二次根式的求值技巧
2014-04-02李新云
李新云
二次根式求值问题是二次根式学习中常见的问题。解答时必须考虑利用一些解题技巧。下面举例说明，供同学们学习时参考。
一、利用二次根式的定义
例1 已知x、y为实数，且满足■-（y-1）■=0，则x2013-y2013=___。
分析 由二次根式的定义，得■≥0，■≥0，则有y-1≥0。
又1-y≥0，则可以求出y的值，从而x的值也可以求出。
解 已知等式即为■=（y-1）■。
因为■≥0，■≥0，
所以y-1≥0，即1-y≤0。
因为1-y≥0，所以1-y=0，即y=1。
把y=1代入已知等式，得■=0，解得x=-1。
则原式=（-1）2013-12013=-2。
点评 若■有意义，则■中隐含着两个非负数：一个是被开方数a≥0，另一个是■≥0。
二、利用倒数关系
例2 已知a=2+■，b=2-■，试求■-■的值。
分析 由ab=1，得a和b互为倒数，那么■=a，■=b。
解 由a=2+■，b=2-■，得ab=1，a+b=4，a-b=2■。
则原式=a·■-b·■=a2-b2=（a+b）（a-b）=8■。
点评 如果ab=1，那么a和b互为倒数，即有■=a，■=b。解题时我们要注意利用这一性质。
三、利用平方法
例3 若m=■，则m5-2m4-2013m3的值是______。
分析 因为m5-2m4-2013m3=m3（m2-2m-2013），要求原式的值，关键在于确定m3及m2-2m-2013的值。
解 因为m=■=■+1。
所以m-1=■，（m-1）2=2014。
所以m2-2m-2013=0。
所以原式=m3（m2-2m-2013）=0。
点评 对于m=■+b的多项式求值问题，应先将这个条件变形为
m-b=■，然后两边平方，从而解决问题。
四、利用非负数和为零
例4 若■+（b-2）2=0，则a2+■-b=______。
分析 从已知等式出发，看看能否确定a2+■的值及b的值。
解 因为■≥0，（b-2）2≥0，所以a2-5a+1=0，b-2=0。
由a2-5a+1=0，得a2+1=5a，a+■=5；由b-2=0，得b=2。
则原式=a+■2-2a·■-b=21。
点评 常见的非负数有：实数的绝对值，实数的平方，非负实数的算术平方根。若其中任意两个或三个的和等于0，则每一个都等于0。
五、利用实数相等的性质
例5 已知a、b为有理数，m、n分别表示5-■的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a-b=______。
分析 先确定m、n的值，再将其代入已知等式中，可知左边有理数部分为1，无理数部分为0。由此可以确定a、b的值。
解 由2<5-■<3，得m=2，n=（5-■）-2=3-■。
因为amn+bn2=1，
所以23-■a+3-■2b=1。
所以（6a+16b）-（2a+6b）■=1。
所以6a+16b=1，2a+6b=0。
所以a=■，b=-■。
则2a-b=2×■-（-■）=■。
点评 任意一个实数都可写成m+n■的形式。其中m是它的有理数部分，n■是它的无理数部分。如果两个实数相等，那么它们的有理数部分和无理数部分必然分别相等。
六、利用配方法
例6 如果a-b=■+■，b-c=■-■，那么2（a2+b2+c2-ab-bc-ca）=______。
分析 根据已知两等式不可能单独确定a、b、c的值，只能确定a-b、b-c、a-c的值。因此，应将原式变形成关于a-b、b-c、a-c的式子。
解 已知两等式即为a=■+■+b，c=b-■+■，
所以a-c=2■。
则原式=（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ca+c2）
=（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2
=（■+■）2+（■-■）2+（2■）2=34。
点评 配方的实质是逆向应用完全平方公式，将形如a2±2ab+b2的式子化为形如（a±b）2的形式。
练习
1.计算2■-6■+■的结果是（ ）
A.3■-2■ B.5-■ C.5-■ D.2■
2.如果■=1-2a，则（ ）
A.a<■ B.a≤■ C.a>■ D.a≥■
3.已知6-3m+（n-5）2=3m-6-■，则m-n=（ ）
A.2 B.1 C.-1 D.-2
4.把二次根式a■化简后，结果正确的是（ ）
A.■ B.-■ C.-■ D.■
5.下列各式计算正确的是（ ）
A.■+■=■ B.2+■=2■
C.3■-■=2■ D.■=■-■
6.估计■×■+■的运算结果在（ ）
A.1到2之间 B.2到3之间
C.3到4之间 D.4到5之间
7.若a<1，化简■-1等于（ ）
A.a-2 B.2-a C.a D.-a
8.已知实数a满足2011-a+■=a，则a-20112的值是（ ）
A.2011 B.2010 C.2012 D.2009
练习参考答案
1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C
二次根式求值问题是二次根式学习中常见的问题。解答时必须考虑利用一些解题技巧。下面举例说明，供同学们学习时参考。
一、利用二次根式的定义
例1 已知x、y为实数，且满足■-（y-1）■=0，则x2013-y2013=___。
分析 由二次根式的定义，得■≥0，■≥0，则有y-1≥0。
又1-y≥0，则可以求出y的值，从而x的值也可以求出。
解 已知等式即为■=（y-1）■。
因为■≥0，■≥0，
所以y-1≥0，即1-y≤0。
因为1-y≥0，所以1-y=0，即y=1。
把y=1代入已知等式，得■=0，解得x=-1。
则原式=（-1）2013-12013=-2。
点评 若■有意义，则■中隐含着两个非负数：一个是被开方数a≥0，另一个是■≥0。
二、利用倒数关系
例2 已知a=2+■，b=2-■，试求■-■的值。
分析 由ab=1，得a和b互为倒数，那么■=a，■=b。
解 由a=2+■，b=2-■，得ab=1，a+b=4，a-b=2■。
则原式=a·■-b·■=a2-b2=（a+b）（a-b）=8■。
点评 如果ab=1，那么a和b互为倒数，即有■=a，■=b。解题时我们要注意利用这一性质。
三、利用平方法
例3 若m=■，则m5-2m4-2013m3的值是______。
分析 因为m5-2m4-2013m3=m3（m2-2m-2013），要求原式的值，关键在于确定m3及m2-2m-2013的值。
解 因为m=■=■+1。
所以m-1=■，（m-1）2=2014。
所以m2-2m-2013=0。
所以原式=m3（m2-2m-2013）=0。
点评 对于m=■+b的多项式求值问题，应先将这个条件变形为
m-b=■，然后两边平方，从而解决问题。
四、利用非负数和为零
例4 若■+（b-2）2=0，则a2+■-b=______。
分析 从已知等式出发，看看能否确定a2+■的值及b的值。
解 因为■≥0，（b-2）2≥0，所以a2-5a+1=0，b-2=0。
由a2-5a+1=0，得a2+1=5a，a+■=5；由b-2=0，得b=2。
则原式=a+■2-2a·■-b=21。
点评 常见的非负数有：实数的绝对值，实数的平方，非负实数的算术平方根。若其中任意两个或三个的和等于0，则每一个都等于0。
五、利用实数相等的性质
例5 已知a、b为有理数，m、n分别表示5-■的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a-b=______。
分析 先确定m、n的值，再将其代入已知等式中，可知左边有理数部分为1，无理数部分为0。由此可以确定a、b的值。
解 由2<5-■<3，得m=2，n=（5-■）-2=3-■。
因为amn+bn2=1，
所以23-■a+3-■2b=1。
所以（6a+16b）-（2a+6b）■=1。
所以6a+16b=1，2a+6b=0。
所以a=■，b=-■。
则2a-b=2×■-（-■）=■。
点评 任意一个实数都可写成m+n■的形式。其中m是它的有理数部分，n■是它的无理数部分。如果两个实数相等，那么它们的有理数部分和无理数部分必然分别相等。
六、利用配方法
例6 如果a-b=■+■，b-c=■-■，那么2（a2+b2+c2-ab-bc-ca）=______。
分析 根据已知两等式不可能单独确定a、b、c的值，只能确定a-b、b-c、a-c的值。因此，应将原式变形成关于a-b、b-c、a-c的式子。
解 已知两等式即为a=■+■+b，c=b-■+■，
所以a-c=2■。
则原式=（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ca+c2）
=（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2
=（■+■）2+（■-■）2+（2■）2=34。
点评 配方的实质是逆向应用完全平方公式，将形如a2±2ab+b2的式子化为形如（a±b）2的形式。
练习
1.计算2■-6■+■的结果是（ ）
A.3■-2■ B.5-■ C.5-■ D.2■
2.如果■=1-2a，则（ ）
A.a<■ B.a≤■ C.a>■ D.a≥■
3.已知6-3m+（n-5）2=3m-6-■，则m-n=（ ）
A.2 B.1 C.-1 D.-2
4.把二次根式a■化简后，结果正确的是（ ）
A.■ B.-■ C.-■ D.■
5.下列各式计算正确的是（ ）
A.■+■=■ B.2+■=2■
C.3■-■=2■ D.■=■-■
6.估计■×■+■的运算结果在（ ）
A.1到2之间 B.2到3之间
C.3到4之间 D.4到5之间
7.若a<1，化简■-1等于（ ）
A.a-2 B.2-a C.a D.-a
8.已知实数a满足2011-a+■=a，则a-20112的值是（ ）
A.2011 B.2010 C.2012 D.2009
练习参考答案
1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C
二次根式求值问题是二次根式学习中常见的问题。解答时必须考虑利用一些解题技巧。下面举例说明，供同学们学习时参考。
一、利用二次根式的定义
例1 已知x、y为实数，且满足■-（y-1）■=0，则x2013-y2013=___。
分析 由二次根式的定义，得■≥0，■≥0，则有y-1≥0。
又1-y≥0，则可以求出y的值，从而x的值也可以求出。
解 已知等式即为■=（y-1）■。
因为■≥0，■≥0，
所以y-1≥0，即1-y≤0。
因为1-y≥0，所以1-y=0，即y=1。
把y=1代入已知等式，得■=0，解得x=-1。
则原式=（-1）2013-12013=-2。
点评 若■有意义，则■中隐含着两个非负数：一个是被开方数a≥0，另一个是■≥0。
二、利用倒数关系
例2 已知a=2+■，b=2-■，试求■-■的值。
分析 由ab=1，得a和b互为倒数，那么■=a，■=b。
解 由a=2+■，b=2-■，得ab=1，a+b=4，a-b=2■。
则原式=a·■-b·■=a2-b2=（a+b）（a-b）=8■。
点评 如果ab=1，那么a和b互为倒数，即有■=a，■=b。解题时我们要注意利用这一性质。
三、利用平方法
例3 若m=■，则m5-2m4-2013m3的值是______。
分析 因为m5-2m4-2013m3=m3（m2-2m-2013），要求原式的值，关键在于确定m3及m2-2m-2013的值。
解 因为m=■=■+1。
所以m-1=■，（m-1）2=2014。
所以m2-2m-2013=0。
所以原式=m3（m2-2m-2013）=0。
点评 对于m=■+b的多项式求值问题，应先将这个条件变形为
m-b=■，然后两边平方，从而解决问题。
四、利用非负数和为零
例4 若■+（b-2）2=0，则a2+■-b=______。
分析 从已知等式出发，看看能否确定a2+■的值及b的值。
解 因为■≥0，（b-2）2≥0，所以a2-5a+1=0，b-2=0。
由a2-5a+1=0，得a2+1=5a，a+■=5；由b-2=0，得b=2。
则原式=a+■2-2a·■-b=21。
点评 常见的非负数有：实数的绝对值，实数的平方，非负实数的算术平方根。若其中任意两个或三个的和等于0，则每一个都等于0。
五、利用实数相等的性质
例5 已知a、b为有理数，m、n分别表示5-■的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a-b=______。
分析 先确定m、n的值，再将其代入已知等式中，可知左边有理数部分为1，无理数部分为0。由此可以确定a、b的值。
解 由2<5-■<3，得m=2，n=（5-■）-2=3-■。
因为amn+bn2=1，
所以23-■a+3-■2b=1。
所以（6a+16b）-（2a+6b）■=1。
所以6a+16b=1，2a+6b=0。
所以a=■，b=-■。
则2a-b=2×■-（-■）=■。
点评 任意一个实数都可写成m+n■的形式。其中m是它的有理数部分，n■是它的无理数部分。如果两个实数相等，那么它们的有理数部分和无理数部分必然分别相等。
六、利用配方法
例6 如果a-b=■+■，b-c=■-■，那么2（a2+b2+c2-ab-bc-ca）=______。
分析 根据已知两等式不可能单独确定a、b、c的值，只能确定a-b、b-c、a-c的值。因此，应将原式变形成关于a-b、b-c、a-c的式子。
解 已知两等式即为a=■+■+b，c=b-■+■，
所以a-c=2■。
则原式=（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ca+c2）
=（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2
=（■+■）2+（■-■）2+（2■）2=34。
点评 配方的实质是逆向应用完全平方公式，将形如a2±2ab+b2的式子化为形如（a±b）2的形式。
练习
1.计算2■-6■+■的结果是（ ）
A.3■-2■ B.5-■ C.5-■ D.2■
2.如果■=1-2a，则（ ）
A.a<■ B.a≤■ C.a>■ D.a≥■
3.已知6-3m+（n-5）2=3m-6-■，则m-n=（ ）
A.2 B.1 C.-1 D.-2
4.把二次根式a■化简后，结果正确的是（ ）
A.■ B.-■ C.-■ D.■
5.下列各式计算正确的是（ ）
A.■+■=■ B.2+■=2■
C.3■-■=2■ D.■=■-■
6.估计■×■+■的运算结果在（ ）
A.1到2之间 B.2到3之间
C.3到4之间 D.4到5之间
7.若a<1，化简■-1等于（ ）
A.a-2 B.2-a C.a D.-a
8.已知实数a满足2011-a+■=a，则a-20112的值是（ ）
A.2011 B.2010 C.2012 D.2009
练习参考答案
1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C
