“一题多解”在几何学习中的体现浅谈

熊考庆

摘 要 中考复习期间，我们在梳理《圆》这一章的作业题时，发现了许多题型都有一些共同之处——以三角形作为基本图形载体进行题型的变化。就此，我准备了一次教学展示课，课题是《圆背景下求线段的长度》。

关键词 一题多解;几何学习;体现;反思

中图分类号：G632                                                      文献标识码：A                                                  文章编号：1002-7661（2019）28-0181-01

课前，我设置了一道前测题，设计与课堂内容相关的、可以为教学目标作铺垫的测试题目，目的是为了让学生熟练和归纳一些使得教学目标达成所需要的数学思想及方法，更有效地帮助学生在课堂上达成本节课的学习目标。并且，在设计前测时，需要注意题目要有可选择性、符合课堂需要、难易程度适中、学生可操作性等要点。

一、“一题多解”几何图形的规律和解题方法的多样性

在进行几何教学时，要突出“一题多解”对学生思维的碰撞，让学生进一步体会几何图形的规律性和解题方法的多样性。本节课在实现“一题多解”过程中，以三角形作为基本图形载体，在三角形的基础上进行拓展和变化。并要让学生确信，不管题型如何改变、几何图形如何变化，都应该抓住三角形这一基本图形载体，理解等腰三角形的对称性，最终问题都可以逐一解决。

课堂前测：已知如图1，在△ABC中，AB=AC。以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、点E，连接EB交OD于点F.（1）求证：OD⊥BE;（2）若AB=5，，求AE的长。

合作学习：已知如图2，AB是半圆O的直径，点C是弧BD的中點，且AB=5，若AD=3，试求线段AC的长。（你还有其它方法来求解吗？）

反思一：几何学习中的“一题多解”，源于以不同的视角看问题。

在课堂前测中，如果学生将要证明的两条线段理解为圆中的半径和弦，那么容易发现本题的关键即是要证明出弧DE=弧DB。于是部分学生想到了要先利用圆心角定理去证明两条弦对应的弧相等，继而又产生了不同的方法：通过“等腰三角形三线合一”结合“圆内接四边形的外角等于内对角”加以证明;或者通过“等腰三角形三线合一”结合“斜中线定理”加以证明;甚至是添加辅助线后通过圆周角定理的推论加以证明等等。

但看待问题的角度不同，所思考的方向也会有所不同！如果学生对本题的理解是要去证明两条线段的夹角为90°，那么要实现这一目标，比较直接的方法是证明AC∥OD，而证明两直线平行的方法又是多种多样！

又如在合作学习中，学生可将条件“点C是弧BD的中点”与垂径定理联系在一起;也可将其与等腰三角形的对称性联系在一起;甚至还可联想到将图中半圆补全成一个整圆，再结合垂径定理来解决。课后学生还发现了构造全等三角形的方法来解决问题，这让我很意外。

反思二：如何在数学课堂中进行引导提问？

一千个读者，就有一千个哈姆雷特。每个学生对问题的理解是有区别的，老师在课堂上的问题究竟是应该指向明确？还是应该开放化一些？

在合作学习中，我的提问其实是指向性比较明确的：环节一是让学生将条件“点C是弧BD的中点”与垂径定理联系起来;环节二是提示学生把合作学习与课堂前测中的两张图形进行对比，发现和体会等腰三角形的对称性;环节三是继续对比图形，从半圆和整圆的角度去解决问题。这样设计的目的是希望学生按照老师引导的方向去进行思维的发散，顺利找到解决问题的方法。但这种教学方法似乎显得有些局限，把学生的思维局限于教师的提前预设当中，不太利于学生形成自己的思维。如果能像前测部分让他们自由思考发挥，多一些开放，更能激活学生对问题思考的欲望和兴趣。

但最后课堂达成的效果还是可观的，在每个环节设置的框架下，学生按部就班地思考，也提出了一些新颖的方法。在教学当中，不论是指向性的问题，还是开放性的元素，只要能够让学生在一堂数学课堂中有新的体验和感悟，我认为就是有效的教学。

反思三：辅助线的添加在几何学习中的重要性。

平面几何解题过程中经常会使用到辅助线的添加，目的是为了揭露一些隐含在题设中的条件，或者是将原图中的一些信息进行联系和集中，从而转化成对解题有帮助的新图形。

在合作学习中，由于我们对题设理解的不同，所添加的辅助线也是有所不同的。环节一中，我们按照垂径定理中所蕴含的基本图形进行辅助线的添加，将条件凸显出来;环节二和环节三中，我们将图形直观化，转化为我们所熟悉的图形——等腰三角形和圆，利用其对称性，达到将问题简单化的目的。这些添加辅助线的方法需要在平时的教学过程中潜移默化地让学生去掌握，遇到具体问题要具体分析。

数学教学如果要有成效，老师需要关注教学流程中的每个环节，让学生充分经历知识的发生和形成的过程。在学生尝试解决问题的时候，要适时适度地引导他们去展开思考，激发他们的数学思维;在分析讲解问题以及开展合作学习的活动时，要多去捕捉一些可以让大家产生共鸣的点，并适当增加一些课堂开放性元素，促使课堂交流更加有效;在学生对一堂课所学内容有了一定程度的体验和领悟时，要善于归纳、总结和反思，帮助学生形成知识方法系统，更加清晰地理解数学实质，实现知识与方法的正向迁移。

参考文献：

[1]李洪明.如何有效开展初中数学几何教学[J].科学大众（科学教育），2019（05）.