高三数学《数列》复习之我见

雨宫春

摘 要：《数列》复习主要应在解题方法、解题能力、解题思想等方面下功夫。

关键词：数列;复习

《数列》蕴涵了丰富的数学思想和方法，主要有：函数与方程、化归、分类讨论、数形结合等重要数学思想;更有：待定系数法、配方法、换元法、分离变量法、归纳猜想证明等基本方法。笔者在《数列》复习中的几点思考和做法与同仁交流。

一、解题方法的复习

（一）抓“求通项、求和”

数列的通项、求和是数列中的两大支柱问题。复习时，我们真对等差、等比数列通项、求和公式进行了复习，主要通过有关的例子研究了“an 与 Sn 的关系、累加、累积、差分、转化”等方法求通项，使同学们对递推数列求通项有一个完整的认识。接着复习了“倒写相加、错位相减、利用公式、拆项相消、重新分组、研究通项”等方法求和。特别是用的较多的“利用公式、错位相减、拆项相消”的求和进行分析，使同学们知道了求和方法的使用，同时还知道什么时候用什么办法处理求和问题。

（二）抓“首项 a1、公差 d（公比 q）”

数列的复习中，让学生回到首项和公差（或公比）中去，无疑是非常基本的方法。

例 1：设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a4+a5=36，S6=72，则{an}的公差为（    ）

（A）2;           （B）4;           （C）6;             （D）8.                                                （答：C）

由 2017 年高考全国卷Ⅰ的第 4 题改编，考生中不知从何下手者大有人在，而回到首项和公差中去的学生（不见得是数学成绩好的学生）轻易解出来了。

例 2：各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S2  =74，S3  =111，则 S5=（     ）（答：185）

这道题，只记住死结论：在等比数列中， Sn，S2n-Sn，S3n-S2n    成等比数列的学生，机械地应用公式 Sn 的学生在算出 q=1（q=-1）（舍去）后，又发现代入上述公式不成立，只有知道讨论使用等比数列的求和公式的学生才能得到正确的答案。

上两例可以看出，对于数列通项公式和求和公式的复习，尽量让学生反复使用最原始的公式， 抓数列的首项 a1、公差 d（公比 q），并注意使公式成立的环境，会使学生求一般等差数列和等比数列的通项公式，前项和公式变得轻松自然。

二、解题能力的培养

（一）归纳、找规律是解决数列问题的有一个重要的思想和方法。

例 3：在数列{an}中， a1=1，a2=5，an+2=an+1-an（n∈N*），则 a2010=（  C）

A.1         B.-5       C.-4        D.5

例 4：對于实数 x 用[x]表示不超过 x 的最大整数，如[0.32]=0，[5.65]=5，若 n 为正整数，an=[n/4]，SN 为数列an}的前 n 项的和，则 S4N=（2n2-n）.

上两例看出，数列的复习，应尽量让学生耐下心来，通过不完全归纳，得出规律的东西，而使问题得到解决。

（二）用好等差数列、等比数列的性质。

复习时，以等差数列、等比数列为载体，以通项公式和求和公式为主线，灵活运用等差数列、等比数列的性质。

例 5：设 SN 为等差数列 an}的前 n 项的和，已知 a2=3，a6=11，则 a17=（    ）

A.13        B.35        C.49        D.63

例 6：有穷等差数列 an}的前 r 项的和为 a，  后 r 项的和为 b，所有项之和为 S，则 a、b、S、n、r 之间的关系是——————。

上两题都使用了性质，可以看出，灵活运用等差数列、等比数列的性质，是基本技能形成的一个重要体现。

三、解题思想的养成

对学生进行数列综合问题的思维训练， 提高学生解决数列综合问题的能力，是复习中核心问题。

（一）寻找题目中的暗线

例 7.在數列{an}中，an+1=3an+4n+2  且 a2= 6

（1）  求 a1;（2）求证数列{an+2n +2}是等比数列，并求 an。

我把此题给同学们后，大量的同学只能解决第一问，对第二问感到无从下手。怎样证明数列{an}是等比（或等差）数列？只要证明（或 an+1  -an）是一个与 n 无关的常数即可。这么浅显的道理，怎么有大量的学生不知从何下手？原因还是复习时，没有让同学们去寻找题目中的暗线。只要注意到数列{an+2n+2}就可以想到把an+1=3an+4n+2 改写成 an+1+2（n+1）+2=3（an+2n +2），求出 a1+2*1+2=4，于是可得数列{an+2n +2}是以 4为首项，以 3 为公比的等比数列。求出 an+2n +2=4*3n-1，再求出 an=4*3n-1-2n -2（这就是本题的暗线）。

（二）借助于题目本身的力量，找到解题的突破口

数列问题在高考中可谓常考常新，尤其是近些年来数列与不等式的融合更成为高考命题者的新宠，而其中对放缩法的把握需要学生有较强的分析和判断能力。复习时若能借助于题目本身的力量，就可以很容易找到解题的突破口，较难的问题能顺利解决。

例 9：在数列{an}中，首项

（1）求 an;

（2）求证：对任意 x>0，;

（3）求证：。

此题一出，大量的同学只能解决第一、二问，第三问找不到解题方法。产生这样的现象的原因主要是同学们没有注意到利用第二问的结论。由（2）知得

对 x>0恒成立，特别地也成立，于是得到

问题解决。对于下面一题也是如此。

例 10：已知函数 f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1

（1）求函数 f（x）的单调区间;

（2）若 f（x）≤0 恒成立，求 k 的值;

（3）若数列{an}的通项，sn 是数列{an}的前 n 项和（n  ≥2 且 n  ∈N*），求证：sn ≤n

*（n-1）/4（太和一中 2011 届高三二模题改编）。

（4）可以用（1）的结论，（3）可以用（2）的结论，此不赘述。