例谈数列复习中的七点注意事项

2011-09-26崔文华

读写算·素质教育论坛 2011年11期

关键词：项的题设公比

崔文华

数学复习中的“会而不对，对而不全”一直困扰着大多数学生，如何解决此问题，一条有效的途径是“防范于未然”，从别人的错误中总结经验，争取做到“墨水流到哪里，分数得到哪里”。下面以数列中常出现的错误为例，提出八点要注意的问题。

一、注意定义域（项数的起始值）

数列可以看作是定义在自然数集或它的子集上的函数，而函数的学习中要注意它的定义域，因此，学习数列也应注意它的定义域，即项数的起始值问题，否则会导致解题失误。

例1：已知数列{an}的前n项的和为Sn，a1=1，当n≥2时，an=Sn-1，求{an}。

错解：当n≥2时，an=Sn-1①

∴an=Sn-1 ②

以上两式相减得an+1-an=Sn-Sn-1=an

即an+1=2an③

数列{an}是以a1=1为首项，以2为公比的等比数列，

∴an=2n-1

剖析：由于没有注意起始值问题而导致错误，事实上，①中n≥2，②中n≥1，从而③中应当n≥2，所以数列{an}从第二项起才是等比数列。显然a2=S1=a1=1，所以正确的通项公式为an=

二、注意等比数列中的每一项都不为零

由等比数列的定义可知等比数列中的每一项均不为零，在解题中容易忽视此条件而导致解题失误。

例2：⑴b2=ac是a，b，c成等差数列的（）。

A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件

C、充要条件D、既不充分也不必要条件

⑵若数列{an}的前n项和为Sn=an-1(a≠0)，则数列{an}是（）。

A、等比数列

B、等差数列

C、可以是等比数列，也可以是等差数列

D、可以是等比数列，但不可能是等差数列

错解：⑴由b2=ac=知选C。

⑵由Sn=an-1，易知an=(a-1)an-1，故选A。

剖析：(1)b2=ac中a，b，c可以为0，故不能推出a，b，c成等比数列，正确答案为B。

(2)当a=1时，an=0是等差数列，但不是等比数列，正确答案为C。

三、注意an=Sn-Sn-1的使用条件

数列的通项an与前n项的和Sn的关系为

an=

故由Sn求an时需分n=1与n≥2两种情况讨论，学生容易忽视n=1而导致解题失误。

例3：若数列{an}前n项的和Sn=n2+n+1，则a1+a3+a5+A+a99的值为。

错解：an=Sn-Sn-1=(n2+n+1)-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n

∴a2n-1=2(2n-1)=4n-2

∴a1+a3+a5+A+a99=50?+?=5000

剖析：上述解法忽视了公式成立的条件，正确的通项公式为an=

故数{an}从第二项为等差数列，从而数列{a2n-1}从第二项起是等差数列，所以 a1+a3+a5+A+a99= a1+(a3+a5+A+a99)=3+(49?+?)=5001

四、注意不能以特殊代替一般

证明（或判断）一个数列是等差（或等比）数列时，不能仅用前几项来证明或判断。

例4：已知数列{cn}中，cn=2n+3n，且数列{cn+1-pcn}为等比数列，求常数p。

错解：由题意知c2-pc1，c3-pc2，c4-pc3成等比数列，

即(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3)

∴(35-13p)2=(13-5p)(97-35p)

解得p=2或3。

剖析：一个命题在特殊情况下不成立，则在一般情况下也不成立，但在特殊情况下成立时，在一般情况下不一定成立，故可以用特殊否定一般，但不能用特殊肯定一般，上述证明过程犯了以偏概全的错误，正确解答过程是由cn+1-pcn，cn+2-pcn+1，cn+3-pcn+2成等比数列，求出p，或由c2-pc1，c3-pc2，c4-pc3成等比数列，求出p值后，再由定义证明{cn+1-pcn}是等比数列（即由特殊值求出结论后，再给出一般性的证明）。

五、注意子数列的公差（或公比）

例5：已知数列{an}的通项an=则lim(a1+a2+a3+A+a2n)的值为。

错解：由已知得{a2n-1}是首项为a1=，公比为的等比数列，{a2n}是首项为a2=，公比为的等比数列。

∴lim(a1+a2+a3+A+a2n)

=lim(a1+a3+A+a2n-1)+lim(a2+a4+A a2n)

=+=1+=

剖析：上述解法没有分清子数列{a2n-1}与{a2n}的公比，事实上{a2n-1}的公比为=，{a2n}的公比为=，故正确答案应为+=。

六、注意公比q的三个盲点

等比数列中关于公比q有三个“盲点”：0，?。

⑴公比q≠0是决定公比的首要条件；

⑵公比q≠1是使用等比数列求和公式公比Sn=的前提条件；

⑶公比q≠-1是一个较为隐蔽的条件。