浅谈求不定积分的第一换元积分法

2019-10-14杨付贵

科学与财富 2019年13期

杨付贵

摘要：在微积分中，已知函数需要求它的导数或微分。而在实际应用中，大多数情况是已知函数需要求它的积分，即微分法的逆运算——积分。由于在积分学中，不定积分是定积分、重积分、曲线积分和曲面积分的基础，因此，学好不定积分十分重要。然而，在学习不定积分过程中发现，不定积分不像求导数或微分那样直观和“有章可循”。不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。在教学中，如何采用简单可行的方法，本文根据自己多年来在教学和学习过程中经验和体会，对不定积分的第一换元积分法的解法首先做了简介，然后进行归纳和总结。为读者在学习不定积分的第一换元积分法时提供思路。文中如有错误之处，望读者批评指正。

关键词：不定积分；换元法；凑微分法。

不定积分的换元积分法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加关注的是什么时候使用第一换元法，什么情况下使用第二换元法，以及如何换元，通常情况下一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。由于不定积分的第一换元积分法（凑微分法）是不定积分学中的一类非常重要的、基本的计算积分的方法。也是不定积分中的一个重点和难点。学生们在学习（或复习）不定积分的第一换元法（凑微分法）法时，对其使用并不熟练，特别是对于普通高校文科的学生以及民办高校的学生，用第一换元法（凑微分法）解题的技巧表现得更生硬，他们不知道什么时候用不定积分的第一换元积分法（凑微分法），如何换元，以及怎样才能够更加熟悉，掌握，应用第一换元积分法。下面我结合自己近四十年，在各高校讲授高等数学的经验和体会，谈一下第一换元积分法（凑微分法）的基本思想，然后通过举例，详细介绍不定积分第一换元积分法的求解方法及使用要点与技巧。最后进行归纳，总结。仅供大学生学习不定积分的第一换元积分法（凑微分法）时参考。

一.第一换元法（凑微分法）的基本思想

第一换元积分法也称为凑微分法。它是求不定积分的一种非常重要的方法，对于给定的直接積分比较困难，而积分较容易积分，使用第一换元法关键是想办法从被积表达式中凑出一个积分变量，将所给积分变成一个外函数易积，内函数可微的积分，也就是说从被积函数分g（x）中分离出一个因子，即使和凑成某函数的微分，然后，令，则有

而积分或是基本积分表中的某一形式，或可以用其它积分法容易求得，最后再变量还原（当然，这里也可以不用引进中间变量u，而直接将

看成中间变量即可）。从而求得原不定积分。所以，第一换元积分法也称为凑微分法。因此，要掌握第一换元积分法，就必须十分熟悉基本积分公式表，知道什么样的积分事基本积分公式表中有的，什么样的积分是基本积分公式表中没有的，只有这样，才能将所给的积分凑成积分基本积分公式表中的某一种形式。

二.第一换元法（凑微分法）的积分举例

例1：求

解：显然，用直接积分法求解很麻烦，需要将被积函数利用二项式展开成101项，然后利用不定积分的性质，对这101项函数分别积分，这样做非常麻烦。那么，我们能不能把积分凑出基本积分公式表中的某一形式呢？我们不妨试试看。由于形式上和基本积分公式表中的很相似，所以，我们不妨试着向积分的方向凑。由于

，所以（令）

，这样

到此积分做完了吗？由于原来的积分变量是 x ，现在为u，务必要变量还原。将代入，最后得到：

注1：使用不定积分的第一换元法（凑微分法），最后结果中，一定要将变量还原。

注2：对第一换元法较熟练后，也可以不用引进中间变量 u ，而直接将看成中间变量即可。

例2：求

解：显然直接积分很困难，那么能否用第一换元积分法呢？如果能用，又如何凑微分呢？