不定积分计算中函数定义域变化的归类分析
2015-04-01吴维峰
摘要：本文结合不定积分的计算，对变形前后函数定义域的变化进行了分析，并归结为三种类型，给出了改进的措施，对保证不定积分计算的正确性、提高教学质量，有重要的作用。
关键词：不定积分;变形;定义域;归类分析
中图分类号：O172 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）41-0117-02
1 引言
不定积分的计算，往往需要对被积表达式进行相应的变形。但是，如果不注意变形的恒等性，则会引起变形前后被积函数定义域的变化，从而使计算出现错误。下边结合具体实例，对不定积分变形中函数定义域的前后变化情况做如下的分析与归类，给出了教学中的改进措施，以确保不定积分计算的正确性。
2 使用有关微分公式导致函数定义域的变化
例1.求I=■arcsinxdx.
解：I=■xarcsinx-■■
=xarcsinx+■■■=xarcsinx+■+c.
求解分析：被积函数的定义域是x∈[-1，1]，本题是求被积函数在闭区间[-1，1]上的不定积分，但微分公式darcsinx=■却要求x≠±1，即x∈（-1，1）.但计算结果F（x）=xarcsinx+■却是在开区间内（-1，1）成立，变形前后函数的定义域发生了改变，结果欠妥。
正解：将函数F（x）=xarcsinx+■的定义域从开区间（-1，1）延拓到x∈[-1，1]即可。
例2.求I=■■dx.
解：I=2■cos■d■=2sin■+c.
求解分析：被积函数的定义域是x∈（0，+∞），但微分公式■dx=d■却是在x∈[0，+∞]内成立，因而F（x）=2sin■+c的定义域比原被积函数的定义域扩大了，结果欠妥。
正解：在得到结果F（x）=2sin■后，在x∈（0，+∞）上作对F（x）的限制即可。
改进措施：这类错误由于忽视了有关公式的成立条件，导致原函数的定义域与被积函数的定义域在个别点处发生了变化，这时，对求得的原函数进行适当延拓或限制即可。
3 使用恒等变形导致函数定义域的变化
例3.求I=■■.
解：I=■■=-■■d■
=-arcsin■+c.
求解分析：被积函数的定义域是x<-1或x>1，但变形中的x■=x2■却仅在x>1时成立，忽略了x<-1时的情况，结果欠妥。
正解：
I=■■=-arcsin■+c1，x>1arcsin■+c2，x<-1.
例4.求I=■■.
解：I=■■=■■
=2ln■+■+c.
求解分析：被积函数的定义域是x<-2或x>0，但变形中的第一个等号却是在x>0时成立，忽略了x<-2时的情况，结果欠妥。
正解：I=■■=lnx+1+■+c.
这样的例子还很多，在此不一一列举。
改进措施：这类错误的产生，是因为在恒等变形中，忽视了变形的恒等性（不是真正的恒等），导致被积函数的定义域在某个区间内发生了变化。这时，除了对函数的定义域进行全面的讨论外，还要注意使用的变形是不是真正的恒等变形，使变形前后被积函数的定义域保持一致，亦可采取其他的方法进行求解。
4 使用变量替换导致函数定义域的变化
例5.求I=■■dx.
解：令x=sect，则dx=secttantdt，
I=■■secttantdt=■dt=t+c=arccos■+c.
求解分析：令f（x）=■，则其定义域为x<-1或x>1，变形■=■=tant没有讨论t的取值范围，忽略了x<-1时的情况，故结果欠妥。
正解：
■=|tant|=tant，t∈（0，■）（x>1）-tant，t∈（-■，0）（x<-1）
正确的结果为：
I=arccos■+c，x>1-arccos■+c，x<-1
例6.求I=■■.
解：令x=■，则dx=-■，代入I得：
I=-■■-arcsin■+c=-arcsin■+c
求解分析：被积函数的定义域为x>1或x<-■.但变形■■=■■中没有考虑t<0即x<-■的情况，结果欠妥。
改进措施：这类错误是由于在对不定积分进行变量替换变形时，忽略了新旧变量间取值范围的一致性，导致了变形前后函数定义域发生了变化。为此，在使用换元法进行变量替换时，一定要注意对使用的变量替换做分析，使得替换前后的定义域完全相同，出现扩大就需要进行适当的限制，出现缩小要进行相应的延展，保证变量替换及变形中新旧变量取值的前后一致性，进而保证变形前后被积函数的定义域不发生变化。
参考文献：
[1]吴维峰.高等数学[M].北京：中国轻工业出版社，2013：28-33.
[2]吴维峰.对不定积分的一题多解的分析[J].高等数学研究，2010，13（6）：11-12.
[3]樊映川，等.高等数学讲义（上册）[M].北京：高等教育出版社，1980：372.
[4]盛祥耀.高等数学辅导[M].北京：清华大学出版社，1994：298.
作者简介：吴维峰（1963-），男（汉族），潍坊工程职业学院副教授，主要从事高等数学的教学与研究。
