凸显思维过程，感悟基本策略

徐强

[摘  要] 在动态几何问题的解题教学中，模型不在于记，在于思;策略不在于给，在于悟;题目不在于多，在于变. 关键是如何让学生从图形与数量的变化中认清此类问题的本质特征，真正把握其基本解决路径与策略.

[关键词] 动态几何;解題教学;策略提炼;教学启示

纵观各地中考试题，动态几何问题往往为命题者所青睐，该类问题一般以点、线、面的运动为基础，给出运动产生的一个或多个变量，要求学生分析几何变量之间的关系以及图形运动情况，包括线段长度、角的大小、图形形状、面积、周长等变化规律，主要考查学生“动中分析，静中转化”的能力. 教学中，如何让学生从图形与数量的多变中认清此类问题的本质特征，真正把握其基本解决路径与策略，是值得我们关注和思考的. 下面笔者仅以近期进行的一次“直线形运动”解题教学指导课为例，谈谈自己的做法与思考，供大家一起研讨.

过程呈现与分析

例题  如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5 cm，BC=8 cm，直线EF⊥BC（点E与点B重合），若直线EF沿直线BC以1 cm/s的速度向右平移至点C结束.假设t s后，直线EF扫过△ABC的面积为S，求S与t的函数关系式.

1. 直观感知，感受运动过程

问题驱动：你能借助数学工具，将此运动过程直观演示出来吗？并说明运动中的特殊位置.

设计分析：体会运动过程，表示运动变化中的相关量，是解决问题的关键所在. 学生之所以不易掌握动态问题，关键是学生不能直观发现运动过程中，图形或者相关量的隐性变化. 因此，对于直线，引导学生不妨借助数学工具——直尺，利用它的平移，演绎运动的过程，发现运动变化中的图形或相关量变化的临界位置. 本例通过直尺的平移，可以发现直线EF扫过△ABC的过程中，扫过图形的形状发生了变化，由三角形变为四边形，临界的位置为直线EF经过点A（如图2）.

2. 化动为静，突破思维节点

问题驱动：根据运动中的特殊位置，t的取值如何分类？并画出分类中存在的一般性图形.

设计分析：动态问题转化为静态问题，即“动中分类，静中突破”是基本策略. 学生通过前面的直观感知，很快确定了t的取值范围：（1）0≤t≤4;（2）4

3. 规范解答，反思关键步骤

问题驱动：请完整、规范地写出求解过程，并思考解决此类问题的一般策略.

设计分析：“规范”是教学中不可忽视的环节. 一方面学生在考试中“会而失分”的现象屡见不鲜，原因之一是日常教学中的规范书写过程强化不够;另一方面，重视“规范”可以引导学生从“快思”走进“慢想”，进一步想透关键步骤，培养有条理的思维能力，内化基本策略. 本例“题后思策略”的关键步骤为：（1）根据已知的等腰三角形，可求出tanB=tanC=;（2）如图3，当0≤t≤4时，BE=t，则GE=t，S=t2;（3）如图4，当4

策略提炼与反思

1. 借助直尺，找临界

动态问题的关键是让学生的思维直观化，其基础是运动直观化. 由于是直线平移，因此充分利用好学生手中的工具，有利于形成几何直观，即运动过程中，相关几何元素位置、大小，有的发生改变，有的保持不变. 这也容易让学生发现运动之后产生的新元素与原有元素之间的对应关系，进而可以确定变化前后的临界位置是什么，为后续解决问题提供有力的帮助.

2. 分类画图，静中求

在发现直线平移过程中的变化规律以后，通过呈现不同阶段的代表图形，让动态问题转化为静态问题，借助静态图形，可以让学生更清楚地找到线段之间、角之间或者线段与角之间的数量关系，从而达到顺利解题的目的.

3. 问题延续，再探究

动态问题的考查角度常与面积、几何图形的存在性等有关，在研究的过程中，可以渗透不同的考查角度，形成一题多变，有效增强学生的发现与变通能力.

如本例，笔者引导学生生成了“题中巧变式”的问题：

（1）当t为何值时，△AEC是等腰三角形？

（2）把△BGE沿直线EF翻折（点G为EF平移过程中与AB或AC的交点），其与四边形AGEC重叠部分的面积为S′，求S′与t的函数关系式.

教学启示与思考

1. 追根溯源，增进体验过程

模型不在于记，在于思. 教学中教师要注重追根溯源，启发学生如何思考，引领学生在转化中成长智慧，让学生在引导下将已有经验与有待解决的问题对接，并实现有效突破. 在“变中寻不变”的问题中，如何驱动学生自主经历探究规律的发现过程，进而加深对“理清动”的体验理解，寻找媒介是最有效的办法. 本例中我们借助了直尺，实际上在分析问题的过程中，如果发现不变的角或线段，我们也可以形成固定图形的运动，也能分清情况，解决问题. 如上述问题延续（2）中，BG翻折之后，与直线BC的夹角始终保持不变，可以通过形状不变的图形向右滑动，同样能够让学生直观感知.

2. 串联整合，关注题后反思

策略不在于给，在于悟. 教学中要注重串联整合，增进学生自我反思，引领学生在有序思考中积累经验. 在“题后思策略”的问题中，驱动学生即时反思分析与解决问题的过程，积累“悟透法”基本经验. 如本例的分析中串联整合的“三部曲”演绎，可以让学生形成基本思维的历程，可以让学生感悟静态下的问题解决无非是寻找边、角之间的一种联系、一种表示，强化了学生的解题策略，积累了数学学习的经验.

3. 增添视角，引发深度学习

题目不在于多，在于变. 教学中要注重增添视角，引导学生进行条件、结论等变式，使问题在变化中引领学生迁移内化. 如本例在“题中巧变式”的问题中，引发学生研究问题的延伸，形成“迁移法”的应变能力. 从中考命题的视角，渗透不同的考查方向，真正实现从一题走向一类，达到减负增效的效果. 当然，在变化的过程中，更能够从方法路径、策略比较中让学生悟出其中的真谛.

总之，数学学习不能单纯依赖记忆与模仿，更需要体验与感悟. 平时的解题教学过程，不能就题论题，要关注知识的“生长点”和“延伸点”，关注思维过程与方法，突出经验与反思，让学生在经历中发现规律，从积淀中彰显魅力！当然，这也要求教师在平时要关注同类问题的收集与研究，如此才能把握问题本质，信手拈来.